Probe-Klausur Stochastik
Klasse 12–13 · Kombinatorik, bedingte Wahrscheinlichkeit und Normalverteilung.
- 13 Aufgaben
- 43 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Kombinatorik (je 3 P.)
Überlege jeweils: Ist die Reihenfolge wichtig? Darf etwas mehrfach vorkommen (Zurücklegen)? Gib die Formel und das Ergebnis an.
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\(\text{Auf wie viele Arten kann man 5 Bücher nebeneinander ins Regal stellen?}\)Lösung: \(5! = 120\)
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\(\text{Wie viele Möglichkeiten gibt es für eine 6-stellige PIN aus den Ziffern 0 bis 9?}\)Lösung: \(10^{6} = 1{.}000{.}000\)
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\(\text{Auf wie viele Arten kann man 8 Läufer auf die Bahnen verteilen?}\)Lösung: \(8! = 40{.}320\)
Aufgabe 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit (je 4 P.)
Lege eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm an und berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. P_A(B) bedeutet: Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A.
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\(P(A) = 0{,}3,\ P_A(B) = 0{,}5,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}3:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)Lösung: \(P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}5 + 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}36,\quad P_B(A) = \frac{0{,}15}{0{,}36} \approx 0{,}417\)
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\(P(A) = 0{,}3,\ P_A(B) = 0{,}6,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)Lösung: \(P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 + 0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}32,\quad P_B(A) = \frac{0{,}18}{0{,}32} \approx 0{,}563\)
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\(P(A) = 0{,}2,\ P_A(B) = 0{,}7,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)Lösung: \(P(B) = 0{,}2 \cdot 0{,}7 + 0{,}8 \cdot 0{,}5 = 0{,}54,\quad P_B(A) = \frac{0{,}14}{0{,}54} \approx 0{,}259\)
Aufgabe 3: Normalverteilung (je 4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab (Tabelle oder Taschenrechner). Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \le 0{,}19)\)Lösung: \(P(Z \le 0{,}19) = \Phi(0{,}19) \approx 0{,}5753\)
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\(P(Z \ge 0{,}94)\)Lösung: \(P(Z \ge 0{,}94) = 1 - \Phi(0{,}94) \approx 0{,}1736\)
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\(P(Z \ge 2{,}49)\)Lösung: \(P(Z \ge 2{,}49) = 1 - \Phi(2{,}49) \approx 0{,}0064\)
Aufgabe 4: Anwendungsaufgabe (10 P.)
Ein Hersteller behauptet: Höchstens 10 % seiner Bauteile sind fehlerhaft. Ein Kunde prüft 50 zufällig ausgewählte Teile. X ist die Anzahl der fehlerhaften Teile. Getestet wird die Nullhypothese H₀: p ≤ 0,1 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Findet der Kunde auffällig viele fehlerhafte Teile, glaubt er dem Hersteller nicht mehr (H₀ wird abgelehnt). Tipp: Rechne mit p = 0,1 und suche das kleinste k, für das P(X ≥ k) höchstens 0,05 ist.
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2 P.
\(\text{Wie viele fehlerhafte Teile erwartet man, wenn der Hersteller recht hat?}\)Lösung: \(E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}1 = 5\)
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2 P.
\(\text{Berechne die Standardabweichung } \sigma \text{ (2 Stellen).}\)Lösung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12\)
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4 P.
\(\text{Ab wie vielen fehlerhaften Teilen wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \geq 9) \approx 0{,}0579 > 0{,}05,\quad P(X \geq 10) \approx 0{,}0245 \leq 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{10, \dots, 50\}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \geq 10) \approx 0{,}0245\quad\text{(H}_0\text{ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt)}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.