Abitur: Anwendungsaufgaben
Klasse 12–13 · Drei Aufgaben mit Text aus dem Alltag – je eine aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Ideal, um das Übersetzen in Mathe zu üben.
- 13 Aufgaben
- 30 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Analysis (10 P.)
Ein Ball wird aus 1 m Höhe senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe über dem Boden (in Metern) nach t Sekunden beschreibt die Funktion h(t) = −5t² + 20t + 1. Den Luftwiderstand lassen wir weg. Tipp: Die größte Höhe ist der Hochpunkt des Graphen – dort ist die Ableitung h′(t) = 0.
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2 P.
\(\text{Wie hoch ist der Ball nach 1 Sekunde?}\)mLösung: \(h(1) = -5 + 20 + 1 = 16\,\text{m}\)
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3 P.
\(\text{Nach wie vielen Sekunden ist der Ball am höchsten?}\)sLösung: \(h'(t) = -10t + 20 = 0 \;\Rightarrow\; t = 2\,\text{s}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die größte Höhe?}\)mLösung: \(h(2) = 21\,\text{m}\)
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3 P.
\(\text{Wann landet der Ball? (in Sekunden, auf 2 Stellen runden)}\)sLösung: \(-5t^{2} + 20t + 1 = 0 \;\Rightarrow\; t \approx 4{,}05\,\text{s}\)
Aufgabe 2: Stochastik (10 P.)
In einer Stadt fahren 40 % der Berufstätigen mit dem Rad zur Arbeit (Ereignis R). Von den Radfahrern nutzen 30 % ein E-Bike (Ereignis E). Von denen, die nicht mit dem Rad fahren, besitzen trotzdem 10 % ein E-Bike. Eine berufstätige Person wird zufällig ausgewählt. Tipp: Trage alles in eine Vierfeldertafel ein. Die Zeilen- und Spaltensummen helfen bei P(E).
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2 P.
\(P(R \cap E)\)Lösung: \(0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\)
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2 P.
\(P(E)\)Lösung: \(0{,}12 + 0{,}6 \cdot 0{,}1 = 0{,}18\)
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3 P.
\(\text{Die Person hat ein E-Bike. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fährt sie mit dem Rad zur Arbeit? (3 Stellen)}\)Lösung: \(P_E(R) = \frac{P(R \cap E)}{P(E)} = \frac{0{,}12}{0{,}18} \approx 0{,}667\)
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1 P.
\(P(\overline{R} \cap \overline{E})\)Lösung: \(0{,}6 \cdot 0{,}9 = 0{,}54\)
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2 P.
\(\text{Sind R und E stochastisch unabhängig? (ja/nein)}\)Lösung: \(P(R) \cdot P(E) = 0{,}4 \cdot 0{,}18 = 0{,}072 \neq 0{,}12 = P(R \cap E) \;\Rightarrow\; \text{nein}\)
Aufgabe 3: Geometrie (10 P.)
Ein dreieckiges Sonnensegel ist an den Punkten A(8|0|0), B(0|8|0) und C(0|0|8) befestigt (Angaben in Metern). Der Boden ist die x-y-Ebene, der Ursprung O ist die Hausecke. Tipp: Den Normalenvektor des Segels bekommst Du mit dem Kreuzprodukt AB × AC. Der Winkel zum Boden ist der Winkel zwischen diesem Normalenvektor und der z-Achse.
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3 P.
\(\text{Wie groß ist die Fläche des Segels? (in m}^2\text{, 2 Stellen)}\)m²Lösung: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}64\\64\\64\end{pmatrix},\quad A = \tfrac{1}{2}\sqrt{12288} \approx 55{,}43\,\text{m}^2\)
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3 P.
\(\text{Unter welchem Winkel ist das Segel gegen den Boden geneigt? (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\cos\alpha = \frac{64}{\sqrt{12288}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 54{,}74^\circ\)
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2 P.
\(\text{Ein senkrechter Mast steht in } P(2|4|0)\text{. In welchem Punkt trifft er das Segel?}\)Lösung: \(\tfrac{x}{8} + \tfrac{y}{8} + \tfrac{z}{8} = 1 \text{ mit } x = 2,\ y = 4 \;\Rightarrow\; S(2 \mid 4 \mid 2)\)
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2 P.
\(\text{Wie weit ist die Hausecke } O \text{ vom Segel entfernt? (2 Stellen)}\)mLösung: \(d = \frac{|64 \cdot 0 + 64 \cdot 0 + 64 \cdot 0 - 512|}{\sqrt{12288}} \approx 4{,}62\,\text{m}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.