Abitur: Anwendungsaufgaben
Klasse 12–13 · Drei Aufgaben mit Text aus dem Alltag – je eine aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Ideal, um das Übersetzen in Mathe zu üben.
- 12 Aufgaben
- 30 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Analysis (10 P.)
Gegeben ist f(x) = (x + 2) · e^(−x). Es gilt f′(x) = (−x − 1) · e^(−x) und f″(x) = x · e^(−x). Eine Stammfunktion ist F(x) = −(x + 3) · e^(−x). Tipp: e^(−x) ist nie 0 – eine Gleichung wie (…) · e^(−x) = 0 löst Du, indem Du nur die Klammer gleich 0 setzt.
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1 P.
\(\text{Nullstelle von f}\)Lösung: \((x + 2) \cdot e^{-x} = 0 \;\Rightarrow\; x = -2\)
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3 P.
\(\text{Hochpunkt (y-Wert auf 2 Stellen runden)}\)Lösung: \(f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = -1,\quad f(-1) = e^{1} \approx 2{,}72 \;\Rightarrow\; H(-1 \mid 2{,}72)\)
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3 P.
\(\text{Wendepunkt (y-Wert auf 2 Stellen runden)}\)Lösung: \(f''(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0,\quad f(0) = 2e^{0} \approx 2 \;\Rightarrow\; W(0 \mid 2)\)
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3 P.
\(\text{Fläche zwischen G und der x-Achse für } -2 \leq x \leq 0 \text{ (2 Stellen)}\)FELösung: \(A = \int_{-2}^{0} f(x)\,dx = F(0) - F(-2) = -3 + e^{2} \approx 4{,}39\)
Aufgabe 2: Stochastik (10 P.)
Ein Hersteller behauptet: Höchstens 5 % seiner Bauteile sind fehlerhaft. Ein Kunde prüft 100 zufällig ausgewählte Teile. X ist die Anzahl der fehlerhaften Teile. Getestet wird die Nullhypothese H₀: p ≤ 0,05 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Findet der Kunde auffällig viele fehlerhafte Teile, glaubt er dem Hersteller nicht mehr (H₀ wird abgelehnt). Tipp: Rechne mit p = 0,05 und suche das kleinste k, für das P(X ≥ k) höchstens 0,05 ist.
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2 P.
\(\text{Wie viele fehlerhafte Teile erwartet man, wenn der Hersteller recht hat?}\)Lösung: \(E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}05 = 5\)
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2 P.
\(\text{Berechne die Standardabweichung } \sigma \text{ (2 Stellen).}\)Lösung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{4{,}75} \approx 2{,}18\)
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4 P.
\(\text{Ab wie vielen fehlerhaften Teilen wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \geq 9) \approx 0{,}0631 > 0{,}05,\quad P(X \geq 10) \approx 0{,}0282 \leq 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{10, \dots, 100\}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \geq 10) \approx 0{,}0282\quad\text{(H}_0\text{ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt)}\)
Aufgabe 3: Geometrie (10 P.)
Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischem Boden ABCD und Spitze S: A(0|0|0), B(4|0|0), C(4|4|0), D(0|4|0) und S(2|2|3). Eine Längeneinheit ist 1 m. Tipp: Eine Kante ist ein Vektor – ihre Länge ist sein Betrag.
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3 P.
\(\text{Wie lang ist die Kante } \overline{AS}\text{? (auf 2 Stellen runden)}\)mLösung: \(|\overrightarrow{AS}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{17} \approx 4{,}12\,\text{m}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist das Volumen des Zelts?}\)m³Lösung: \(V = \tfrac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 3 = 16\,\text{m}^3\)
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3 P.
\(\text{Neigungswinkel der Kante } AS \text{ gegen den Boden (auf 2 Stellen runden)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{17}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 46{,}69^\circ\)
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2 P.
\(\text{Mittelpunkt } M \text{ der Kante } BS\)Lösung: \(M\left(\tfrac{4 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 3}{2}\right) = M(3 \mid 1 \mid 1{,}5)\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.