Probe-Klausur Integralrechnung
Klasse 12–13 · Stammfunktionen, bestimmte Integrale und Flächen zwischen zwei Graphen.
- 15 Aufgaben
- 43 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Stammfunktionen (je 2 P.)
Bestimme eine Stammfunktion F. Vergiss die Integrationskonstante C nicht. Kontrolle: F'(x) muss wieder f(x) ergeben.
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\(f(x) = 8x^{4} + 9x\)Lösung: \(F(x) = \frac{8}{5}x^{5} + \frac{9}{2}x^{2} + C\)
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\(f(x) = 6x^{3} - 7x^{2} + 5x\)Lösung: \(F(x) = \frac{3}{2}x^{4} - \frac{7}{3}x^{3} + \frac{5}{2}x^{2} + C\)
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\(f(x) = 6x - 2\)Lösung: \(F(x) = 3x^{2} - 2x + C\)
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\(f(x) = 9x^{2} - 9x + 7\)Lösung: \(F(x) = 3x^{3} - \frac{9}{2}x^{2} + 7x + C\)
Aufgabe 2: Bestimmte Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{0}^{3} \left(4x^{2} + 2x\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{3} \left(4x^{2} + 2x\right) dx = 45\)
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\(\int_{2}^{4} \left(6x^{3} + 7\right) dx\)Lösung: \(\int_{2}^{4} \left(6x^{3} + 7\right) dx = 374\)
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\(\int_{2}^{3} \left(-6x^{2}\right) dx\)Lösung: \(\int_{2}^{3} \left(-6x^{2}\right) dx = -38\)
Aufgabe 3: Fläche zwischen Graphen (je 5 P.)
Berechne den Inhalt der Fläche, die die Graphen von f und g einschließen. Gib das Ergebnis exakt als Bruch an.
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\(f(x) = -2x^{2} - 7x - 7,\quad g(x) = x - 1\)Lösung: \(A = \frac{8}{3}\)
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\(f(x) = 2x^{2} - 6x + 5,\quad g(x) = 2x - 1\)Lösung: \(A = \frac{8}{3}\)
Aufgabe 4: Ableiten (Wiederholung) (je 3 P.)
Bilde die erste Ableitung mit Produkt- und Kettenregel. Vereinfache so weit wie sinnvoll.
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\(f(x) = (x^{2} - 2)^{3}\)Lösung: \(f'(x) = 6x(x^{2} - 2)^{2}\)
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\(f(x) = x\,e^{x}\)Lösung: \(f'(x) = e^{x}\left(x + 1\right)\)
Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe (10 P.)
In einem Speicher sind zu Beginn (t = 0) 80 m³ Wasser. Die Änderungsrate des Wasservolumens beträgt r(t) = 2 · (6 − t) in m³ pro Stunde (t in Stunden). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Abfluss. Tipp: Das Volumen ist der Anfangsbestand plus die Integralfunktion der Rate: V(t) = 80 + ∫₀ᵗ r(s) ds. Am meisten Wasser ist im Speicher, wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt.
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3 P.
\(\text{Gib das Volumen } V(t) \text{ als Term an.}\)Lösung: \(V(t) = 80 + \int_0^t 2(6 - s)\,ds = 80 + 12t - 1t^2\)
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2 P.
\(\text{Zu welchem Zeitpunkt ist am meisten Wasser im Speicher?}\)hLösung: \(r(t) = 0 \;\Rightarrow\; t = 6\,\text{h}\quad(\text{Vorzeichenwechsel von } + \text{ nach } -)\)
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3 P.
\(\text{Wie viel Wasser ist dann im Speicher?}\)m³Lösung: \(V(6) = 80 + 72 - 36 = 116\,\text{m}^3\)
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2 P.
\(\text{Wann ist wieder so viel Wasser im Speicher wie am Anfang?}\)hLösung: \(V(t) = 80 \;\Rightarrow\; 12t - 1t^2 = 0 \;\Rightarrow\; t = 12\,\text{h}\quad (t = 0 \text{ ist der Anfang})\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.