Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 20 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = -\frac{1}{x} - \frac{2}{3}x^{4}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{8}{3}x^{3}\)
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\(f(x) = \frac{5}{3}x^{3} - 2\sqrt{x}\)Lösung: \(f'(x) = 5x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{2}^{4} \left(-6x + 3\right) dx\)Lösung: \(\int_{2}^{4} \left(-6x + 3\right) dx = -30\)
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\(\int_{0}^{2} \left(-4x - 5\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{2} \left(-4x - 5\right) dx = -18\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } H\left(2 \,\middle|\, 1\right),\ P\left(5 \,\middle|\, -8\right)\)Lösung: \(f(x) = -x^{2} + 4x - 3\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \le -2{,}1)\)Lösung: \(P(Z \le -2{,}1) = \Phi(-2{,}1) \approx 0{,}0179\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((2 \mid 2 \mid 4) \cdot (4 \mid 6 \mid -3)\)Lösung: \((2 \mid 2 \mid 4) \cdot (4 \mid 6 \mid -3) = 8\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
Ein Ball wird vom Boden aus senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe über dem Boden (in Metern) nach t Sekunden beschreibt die Funktion h(t) = −5t² + 25t. Den Luftwiderstand lassen wir weg. Tipp: Die größte Höhe ist der Hochpunkt des Graphen – dort ist die Ableitung h′(t) = 0.
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2 P.
\(\text{Wie hoch ist der Ball nach 1 Sekunde?}\)mLösung: \(h(1) = -5 + 25 = 20\,\text{m}\)
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3 P.
\(\text{Nach wie vielen Sekunden ist der Ball am höchsten?}\)sLösung: \(h'(t) = -10t + 25 = 0 \;\Rightarrow\; t = 2{,}5\,\text{s}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die größte Höhe?}\)mLösung: \(h(2{,}5) = 31{,}25\,\text{m}\)
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3 P.
\(\text{Wann landet der Ball? (in Sekunden, auf 2 Stellen runden)}\)sLösung: \(-5t^{2} + 25t = 0 \;\Rightarrow\; t = 5\,\text{s}\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
Eine Anlage füllt Saft in Flaschen. Die Füllmenge X (in ml) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 1000 ml und der Standardabweichung σ = 5 ml. Tipp: Standardisiere mit z = (x − μ) : σ und lies Φ(z) in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner ab. Für „mehr als“ rechnest Du 1 − Φ(z). Werte aus der Tabelle dürfen etwas abweichen.
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als } 992{,}5\text{ ml enthält (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(X < 992{,}5) = \Phi\left(\frac{992{,}5 - 1000}{5}\right) = \Phi(-1{,}5) \approx 0{,}067\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge höchstens } 5\text{ ml von } \mu \text{ abweicht (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(995 \leq X \leq 1005) = 2\,\Phi(1) - 1 \approx 0{,}683\)
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2 P.
\(\text{Wie viele von 2000 Flaschen enthalten voraussichtlich weniger als } 992{,}5\text{ ml? (ganze Zahl)}\)Lösung: \(2000 \cdot 0{,}0668 \approx 134\)
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2 P.
\(\text{Ab welcher Füllmenge gehört eine Flasche zu den 5\,\% vollsten? (1 Stelle)}\)mlLösung: \(P(X \geq c) = 0{,}05 \;\Rightarrow\; \Phi\left(\frac{c - 1000}{5}\right) = 0{,}95 \;\Rightarrow\; \frac{c - 1000}{5} \approx 1{,}645 \;\Rightarrow\; c \approx 1008{,}2\,\text{ml}\)
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2 P.
\(\text{Auf welchen Wert muss } \sigma \text{ sinken, damit nur 1\,\% der Flaschen weniger als } 992{,}5\text{ ml enthalten? (2 Stellen)}\)mlLösung: \(\Phi\left(\frac{-7{,}5}{\sigma}\right) = 0{,}01 \;\Rightarrow\; \frac{7{,}5}{\sigma} \approx 2{,}326 \;\Rightarrow\; \sigma \approx 3{,}22\,\text{ml}\)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischem Boden ABCD und Spitze S: A(0|0|0), B(4|0|0), C(4|4|0), D(0|4|0) und S(2|2|4). Eine Längeneinheit ist 1 m. Tipp: Eine Kante ist ein Vektor – ihre Länge ist sein Betrag.
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3 P.
\(\text{Wie lang ist die Kante } \overline{AS}\text{? (auf 2 Stellen runden)}\)mLösung: \(|\overrightarrow{AS}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{24} \approx 4{,}9\,\text{m}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist das Volumen des Zelts?}\)m³Lösung: \(V = \tfrac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 4 = 21{,}33\,\text{m}^3\)
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3 P.
\(\text{Neigungswinkel der Kante } AS \text{ gegen den Boden (auf 2 Stellen runden)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{4}{\sqrt{24}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 54{,}74^\circ\)
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2 P.
\(\text{Mittelpunkt } M \text{ der Kante } BS\)Lösung: \(M\left(\tfrac{4 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 4}{2}\right) = M(3 \mid 1 \mid 2)\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.