Abitur: Anwendungsaufgaben
Klasse 12–13 · Drei Aufgaben mit Text aus dem Alltag – je eine aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Ideal, um das Übersetzen in Mathe zu üben.
- 12 Aufgaben
- 30 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Analysis (10 P.)
In einem Speicher sind zu Beginn (t = 0) 50 m³ Wasser. Die Änderungsrate des Wasservolumens beträgt r(t) = 6 · (5 − t) in m³ pro Stunde (t in Stunden). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Abfluss. Tipp: Das Volumen ist der Anfangsbestand plus die Integralfunktion der Rate: V(t) = 50 + ∫₀ᵗ r(s) ds. Am meisten Wasser ist im Speicher, wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt.
-
3 P.
\(\text{Gib das Volumen } V(t) \text{ als Term an.}\)Lösung: \(V(t) = 50 + \int_0^t 6(5 - s)\,ds = 50 + 30t - 3t^2\)
-
2 P.
\(\text{Zu welchem Zeitpunkt ist am meisten Wasser im Speicher?}\)hLösung: \(r(t) = 0 \;\Rightarrow\; t = 5\,\text{h}\quad(\text{Vorzeichenwechsel von } + \text{ nach } -)\)
-
3 P.
\(\text{Wie viel Wasser ist dann im Speicher?}\)m³Lösung: \(V(5) = 50 + 150 - 75 = 125\,\text{m}^3\)
-
2 P.
\(\text{Wann ist wieder so viel Wasser im Speicher wie am Anfang?}\)hLösung: \(V(t) = 50 \;\Rightarrow\; 30t - 3t^2 = 0 \;\Rightarrow\; t = 10\,\text{h}\quad (t = 0 \text{ ist der Anfang})\)
Aufgabe 2: Stochastik (10 P.)
Eine Krankheit haben 1 % der Menschen. Ein Schnelltest zeigt bei Kranken mit 95 % Wahrscheinlichkeit „positiv“. Bei Gesunden zeigt er mit 90 % Wahrscheinlichkeit richtig „negativ“. Eine zufällig ausgewählte Person wird getestet. Tipp: Zeichne ein Baumdiagramm (erst krank/gesund, dann positiv/negativ) und rechne mit Dezimalzahlen.
-
3 P.
\(\text{Berechne } P(\text{positiv}) \text{ (auf 4 Stellen runden).}\)Lösung: \(0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}1 \approx 0{,}1085\)
-
4 P.
\(\text{Der Test ist positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person krank? (3 Stellen)}\)Lösung: \(P_{\text{pos}}(\text{krank}) = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}95}{0{,}1085} \approx 0{,}088\)
-
3 P.
\(\text{Der Test ist negativ. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person gesund? (4 Stellen)}\)Lösung: \(P_{\text{neg}}(\text{gesund}) = \frac{0{,}99 \cdot 0{,}9}{0{,}8915} \approx 0{,}9994\)
Aufgabe 3: Geometrie (10 P.)
Die Position eines Flugzeugs F₁ nach t Minuten ist (0|0|3) + t · (8|4|1), die von Flugzeug F₂ ist (53|-6|6) + t · (-8|4|0). Alle Angaben in km, die x₃-Achse zeigt nach oben. Tipp: Die Länge des Richtungsvektors ist die Strecke pro Minute. Den kleinsten Abstand findest Du, indem Du den Abstand d(t) der beiden Positionen aufstellst und das Minimum von d(t)² suchst.
-
2 P.
\(\text{Geschwindigkeit von } F_1 \text{ in km/h}\)km/hLösung: \(|\vec{u}| = \sqrt{64 + 16 + 1} = 9\,\tfrac{\text{km}}{\text{min}} \;\Rightarrow\; 540\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
-
2 P.
\(\text{Steigungswinkel von } F_1 \text{ gegenüber dem Boden (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{1}{9} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 6{,}38^\circ\)
-
2 P.
\(\text{Wo ist } F_1 \text{ nach 5 Minuten?}\)Lösung: \((0|0|3) + 5 \cdot (8|4|1) = (40|20|8)\)
-
2 P.
\(\text{Nach wie vielen Minuten sind sich die Flugzeuge am nächsten? (2 Stellen)}\)minLösung: \(d(t)^2 = |(-53|6|-3) + t \cdot (16|0|1)|^2 \text{ minimal} \;\Rightarrow\; t = 3{,}31\,\text{min}\)
-
2 P.
\(\text{Wie groß ist dieser kleinste Abstand? (in km, 2 Stellen)}\)kmLösung: \(d(3{,}31) \approx 6{,}01\,\text{km}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.