Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 20 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = 5\sqrt{x} - \frac{5}{3}x^{4}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{x}} - \frac{20}{3}x^{3}\)
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\(f(x) = -\frac{1}{x^{3}} - \frac{5}{4}x^{3}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{3}{x^{4}} - \frac{15}{4}x^{2}\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{0}^{1} \left(-2x + 1\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{1} \left(-2x + 1\right) dx = 0\)
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\(\int_{0}^{2} \left(2x\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{2} \left(2x\right) dx = 4\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } P_1\left(0 \,\middle|\, -1\right),\ P_2\left(2 \,\middle|\, 7\right),\ P_3\left(3 \,\middle|\, 17\right)\)Lösung: \(f(x) = 2x^{2} - 1\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \ge 0{,}68)\)Lösung: \(P(Z \ge 0{,}68) = 1 - \Phi(0{,}68) \approx 0{,}2483\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((5 \mid 6 \mid 2) \cdot (2 \mid 6 \mid 2)\)Lösung: \((5 \mid 6 \mid 2) \cdot (2 \mid 6 \mid 2) = 50\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
In ein leeres Becken läuft Wasser. Die Zuflussrate in Litern pro Minute beträgt r(t) = 2 · t · (8 − t) für 0 ≤ t ≤ 8 (t in Minuten). Danach wird der Zufluss geschlossen. Tipp: Die Zuflussrate sagt, wie schnell Wasser kommt. Wie viel Wasser insgesamt gekommen ist, liefert das Integral.
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die Zuflussrate nach 3 Minuten?}\)l/minLösung: \(r(3) = 30\,\tfrac{\text{l}}{\text{min}}\)
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3 P.
\(\text{Zu welchem Zeitpunkt fließt am meisten Wasser zu?}\)minLösung: \(r'(t) = 2 \cdot (8 - 2t) = 0 \;\Rightarrow\; t = 4\,\text{min}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die größte Zuflussrate?}\)l/minLösung: \(r(4) = 32\,\tfrac{\text{l}}{\text{min}}\)
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3 P.
\(\text{Wie viele Liter sind nach 8 Minuten im Becken?}\)lLösung: \(\int_{0}^{8} r(t)\,dt = 2 \cdot \left[8\tfrac{t^2}{2} - \tfrac{t^3}{3}\right]_0^{8} = 170{,}67\,\text{l}\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
Eine Anlage füllt Saft in Flaschen. Die Füllmenge X (in ml) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 500 ml und der Standardabweichung σ = 5 ml. Tipp: Standardisiere mit z = (x − μ) : σ und lies Φ(z) in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner ab. Für „mehr als“ rechnest Du 1 − Φ(z). Werte aus der Tabelle dürfen etwas abweichen.
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als } 492{,}5\text{ ml enthält (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(X < 492{,}5) = \Phi\left(\frac{492{,}5 - 500}{5}\right) = \Phi(-1{,}5) \approx 0{,}067\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge höchstens } 5\text{ ml von } \mu \text{ abweicht (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(495 \leq X \leq 505) = 2\,\Phi(1) - 1 \approx 0{,}683\)
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2 P.
\(\text{Wie viele von 5000 Flaschen enthalten voraussichtlich weniger als } 492{,}5\text{ ml? (ganze Zahl)}\)Lösung: \(5000 \cdot 0{,}0668 \approx 334\)
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2 P.
\(\text{Ab welcher Füllmenge gehört eine Flasche zu den 5\,\% vollsten? (1 Stelle)}\)mlLösung: \(P(X \geq c) = 0{,}05 \;\Rightarrow\; \Phi\left(\frac{c - 500}{5}\right) = 0{,}95 \;\Rightarrow\; \frac{c - 500}{5} \approx 1{,}645 \;\Rightarrow\; c \approx 508{,}2\,\text{ml}\)
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2 P.
\(\text{Auf welchen Wert muss } \sigma \text{ sinken, damit nur 1\,\% der Flaschen weniger als } 492{,}5\text{ ml enthalten? (2 Stellen)}\)mlLösung: \(\Phi\left(\frac{-7{,}5}{\sigma}\right) = 0{,}01 \;\Rightarrow\; \frac{7{,}5}{\sigma} \approx 2{,}326 \;\Rightarrow\; \sigma \approx 3{,}22\,\text{ml}\)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Ein dreieckiges Sonnensegel ist an den Punkten A(8|0|0), B(0|12|0) und C(0|0|8) befestigt (Angaben in Metern). Der Boden ist die x-y-Ebene, der Ursprung O ist die Hausecke. Tipp: Den Normalenvektor des Segels bekommst Du mit dem Kreuzprodukt AB × AC. Der Winkel zum Boden ist der Winkel zwischen diesem Normalenvektor und der z-Achse.
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3 P.
\(\text{Wie groß ist die Fläche des Segels? (in m}^2\text{, 2 Stellen)}\)m²Lösung: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}96\\64\\96\end{pmatrix},\quad A = \tfrac{1}{2}\sqrt{22528} \approx 75{,}05\,\text{m}^2\)
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3 P.
\(\text{Unter welchem Winkel ist das Segel gegen den Boden geneigt? (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\cos\alpha = \frac{96}{\sqrt{22528}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 50{,}24^\circ\)
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2 P.
\(\text{Ein senkrechter Mast steht in } P(2|6|0)\text{. In welchem Punkt trifft er das Segel?}\)Lösung: \(\tfrac{x}{8} + \tfrac{y}{12} + \tfrac{z}{8} = 1 \text{ mit } x = 2,\ y = 6 \;\Rightarrow\; S(2 \mid 6 \mid 2)\)
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2 P.
\(\text{Wie weit ist die Hausecke } O \text{ vom Segel entfernt? (2 Stellen)}\)mLösung: \(d = \frac{|96 \cdot 0 + 64 \cdot 0 + 96 \cdot 0 - 768|}{\sqrt{22528}} \approx 5{,}12\,\text{m}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.