Abitur: Anwendungsaufgaben
Klasse 12–13 · Drei Aufgaben mit Text aus dem Alltag – je eine aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Ideal, um das Übersetzen in Mathe zu üben.
- 13 Aufgaben
- 30 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Analysis (10 P.)
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = −x³ + 3x² + 9x − 1. Ihr Graph heißt G. Diese Aufgabe ist ohne Taschenrechner lösbar. Tipp: Extrempunkte: f′(x) = 0 lösen und mit f″ prüfen. Wendepunkt: f″(x) = 0. Die Wendetangente hat die Steigung m = f′(x_W).
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1 P.
\(\text{Schnittpunkt von G mit der y-Achse}\)Lösung: \(f(0) = -1 \;\Rightarrow\; S_y(0 \mid -1)\)
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4 P.
\(\text{Hoch- und Tiefpunkt von G (Schreibweise: H(…|…); T(…|…))}\)Lösung: \(f'(x) = -3x^{2} + 6x + 9 = -3(x + 1)(x - 3) = 0,\quad f''(3) < 0,\ f''(-1) > 0 \;\Rightarrow\; H(3 \mid 26),\ T(-1 \mid -6)\)
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2 P.
\(\text{Wendepunkt von G}\)Lösung: \(f''(x) = -6x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; W(1 \mid 10)\)
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3 P.
\(\text{Gleichung der Wendetangente}\)Lösung: \(m = f'(1) = 12 \;\Rightarrow\; t(x) = 12x - 2\)
Aufgabe 2: Stochastik (10 P.)
Eine Anlage füllt Saft in Flaschen. Die Füllmenge X (in ml) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 750 ml und der Standardabweichung σ = 4 ml. Tipp: Standardisiere mit z = (x − μ) : σ und lies Φ(z) in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner ab. Für „mehr als“ rechnest Du 1 − Φ(z). Werte aus der Tabelle dürfen etwas abweichen.
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als } 740\text{ ml enthält (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(X < 740) = \Phi\left(\frac{740 - 750}{4}\right) = \Phi(-2{,}5) \approx 0{,}006\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge höchstens } 4\text{ ml von } \mu \text{ abweicht (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(746 \leq X \leq 754) = 2\,\Phi(1) - 1 \approx 0{,}683\)
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2 P.
\(\text{Wie viele von 1000 Flaschen enthalten voraussichtlich weniger als } 740\text{ ml? (ganze Zahl)}\)Lösung: \(1000 \cdot 0{,}0062 \approx 6\)
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2 P.
\(\text{Ab welcher Füllmenge gehört eine Flasche zu den 5\,\% vollsten? (1 Stelle)}\)mlLösung: \(P(X \geq c) = 0{,}05 \;\Rightarrow\; \Phi\left(\frac{c - 750}{4}\right) = 0{,}95 \;\Rightarrow\; \frac{c - 750}{4} \approx 1{,}645 \;\Rightarrow\; c \approx 756{,}6\,\text{ml}\)
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2 P.
\(\text{Auf welchen Wert muss } \sigma \text{ sinken, damit nur 1\,\% der Flaschen weniger als } 740\text{ ml enthalten? (2 Stellen)}\)mlLösung: \(\Phi\left(\frac{-10}{\sigma}\right) = 0{,}01 \;\Rightarrow\; \frac{10}{\sigma} \approx 2{,}326 \;\Rightarrow\; \sigma \approx 4{,}3\,\text{ml}\)
Aufgabe 3: Geometrie (10 P.)
Ein dreieckiges Sonnensegel ist an den Punkten A(8|0|0), B(0|4|0) und C(0|0|4) befestigt (Angaben in Metern). Der Boden ist die x-y-Ebene, der Ursprung O ist die Hausecke. Tipp: Den Normalenvektor des Segels bekommst Du mit dem Kreuzprodukt AB × AC. Der Winkel zum Boden ist der Winkel zwischen diesem Normalenvektor und der z-Achse.
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3 P.
\(\text{Wie groß ist die Fläche des Segels? (in m}^2\text{, 2 Stellen)}\)m²Lösung: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}16\\32\\32\end{pmatrix},\quad A = \tfrac{1}{2}\sqrt{2304} \approx 24\,\text{m}^2\)
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3 P.
\(\text{Unter welchem Winkel ist das Segel gegen den Boden geneigt? (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\cos\alpha = \frac{32}{\sqrt{2304}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 48{,}19^\circ\)
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2 P.
\(\text{Ein senkrechter Mast steht in } P(2|1|0)\text{. In welchem Punkt trifft er das Segel?}\)Lösung: \(\tfrac{x}{8} + \tfrac{y}{4} + \tfrac{z}{4} = 1 \text{ mit } x = 2,\ y = 1 \;\Rightarrow\; S(2 \mid 1 \mid 2)\)
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2 P.
\(\text{Wie weit ist die Hausecke } O \text{ vom Segel entfernt? (2 Stellen)}\)mLösung: \(d = \frac{|16 \cdot 0 + 32 \cdot 0 + 32 \cdot 0 - 128|}{\sqrt{2304}} \approx 2{,}67\,\text{m}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.