Ableitungsrechner mit Rechenweg
Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.
Ergebnis
Die Ableitung von $f(x) = 2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)$ ist:
✓ Ergebnis mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft
Rechenweg
grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist
Summen-/Differenzenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Hier ist $u = 2\,x\,\sin\left(x\right),\quad v = x^{2}\,\cos\left(x\right)$.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\,\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\cos\left(x\right)\right]}\,}}}\]Faktorregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Hier ist $c = 2,\quad u = x\,\sin\left(x\right)$.
\[\frac{d}{dx}{\left[2\,x\,\sin\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\sin\left(x\right)\right]}\]\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\sin\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\cos\left(x\right)\right]}\]Produktregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'\]Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
Hier ist $u = x,\quad v = \sin\left(x\right)$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x\,\sin\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\sin\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\]\[= 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\sin\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\cos\left(x\right)\right]}\]Ableitung der Variablen Ableiten
\[\frac{d}{dx}(x)=1\]Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
\[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]\[= 2\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sin\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right) + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\cos\left(x\right)\right]}\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[1\,\sin\left(x\right) \;\Rightarrow\; \sin\left(x\right)\]\[= 2\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right) + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\cos\left(x\right)\right]}\]Ableitung des Sinus Ableiten
\[\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)\]Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
\[\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \cos\left(x\right)\]\[= 2\,\left(\sin\left(x\right) + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\right) + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\cos\left(x\right)\right]}\]Produktregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'\]Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
Hier ist $u = x^{2},\quad v = \cos\left(x\right)$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\cos\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\cos\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\]\[= 2\,\left(\sin\left(x\right) + x\,\cos\left(x\right)\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\cos\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}\]Potenzregel (Spezialfall) Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\]Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Hier ist $u = x,\quad c = 2$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Rightarrow\; 2\,x^{2 - 1}\]\[= 2\,\left(\sin\left(x\right) + x\,\cos\left(x\right)\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\cos\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 - 1 \;\Rightarrow\; 1\]\[= 2\,\left(\sin\left(x\right) + x\,\cos\left(x\right)\right) + 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\cos\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\]Potenz mit Exponent 1 Vereinfachen
Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
\[x^{1} \;\Rightarrow\; x\]\[= 2\,\left(\sin\left(x\right) + x\,\cos\left(x\right)\right) + 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\cos\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\]Ableitung des Kosinus Ableiten
\[\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\]Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
\[\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Rightarrow\; -\sin\left(x\right)\]\[= 2\,\left(\sin\left(x\right) + x\,\cos\left(x\right)\right) + 2\,x\,\cos\left(x\right) + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}\]Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachen
Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
\[x^{2}\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Rightarrow\; -x^{2}\,\sin\left(x\right)\]\[= 2\,\left(\sin\left(x\right) + x\,\cos\left(x\right)\right) + 2\,x\,\cos\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{2}\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}\]Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachen
Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.
\[2\,x\,\cos\left(x\right) + \left(-x^{2}\,\sin\left(x\right)\right) \;\Rightarrow\; 2\,x\,\cos\left(x\right) - x^{2}\,\sin\left(x\right)\]\[= 2\,\left(\sin\left(x\right) + x\,\cos\left(x\right)\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\cos\left(x\right) - x^{2}\,\sin\left(x\right)\,}}}\]Ausmultiplizieren Vereinfachen
Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right) + 2\,x\,\cos\left(x\right) + 2\,x\,\cos\left(x\right) - x^{2}\,\sin\left(x\right)\,}}}\]Gleichartige Terme zusammenfassen Vereinfachen
Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right) + \left(2 + 2\right)\,x\,\cos\left(x\right) - x^{2}\,\sin\left(x\right)\,}}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2 + 2 \;\Rightarrow\; 4\]\[= 2\,\sin\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\,x\,\cos\left(x\right) - x^{2}\,\sin\left(x\right)\]
So benutzt Du den Ableitungsrechner
- Potenzen mit
^:x^3, Wurzeln mitsqrt(…)oder als Potenzx^(1/2). - Malpunkte darfst Du weglassen:
3x^2,2sin(x),x e^x. - Funktionen:
sin,cos,tan,e^xbzw.exp(x),ln,log,sqrt,abs– das Argument immer in Klammern. - Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
- Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.
Welche Regeln verwendet der Rechner?
Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).
Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.