e-Funktion
Die e-Funktion $f(x) = e^x$ ist die wichtigste Exponentialfunktion der Oberstufe. Sie beschreibt Wachstums- und Zerfallsvorgänge und hat eine besondere Eigenschaft: Ihre Ableitung ist sie selbst. Hier findest Du alles, was Du für Klausur und Abitur brauchst.
Die Eulersche Zahl e
Die Basis $e \approx 2{,}71828$ heißt Eulersche Zahl. Sie ist – wie $\pi$ – irrational, hat also unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode. Eine Möglichkeit, sie zu erhalten: $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ kommt für immer größere $n$ der Zahl $e$ beliebig nahe. Auf dem Taschenrechner findest Du $e^x$ meist als zweite Belegung der ln-Taste.
Eigenschaften und Graph
Eigenschaften von $f(x) = e^x$
- Definitionsbereich $D = \mathbb{R}$, Wertebereich $W = (0;\ \infty)$: $e^x$ ist immer positiv – also nie 0.
- Der Graph geht durch $(0 \mid 1)$, denn $e^0 = 1$.
- Streng monoton steigend und linksgekrümmt.
- Für $x \to -\infty$ geht $e^x \to 0$: Die x-Achse ist waagerechte Asymptote. Für $x \to \infty$ geht $e^x \to \infty$.
- $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ ist der an der y-Achse gespiegelte Graph (fallend).
Ableitung der e-Funktion
Die e-Funktion ist die einzige Funktion (bis auf einen Faktor), die beim Ableiten unverändert bleibt. Steht im Exponenten mehr als $x$, brauchst Du die Kettenregel: äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Bei Produkten wie $x^2 \cdot e^{x}$ hilft die Produktregel $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Am Ende klammerst Du die e-Funktion aus:
Beispiel
$f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$ mit $u = x^2$, $u' = 2x$, $v = e^{-x}$, $v' = -e^{-x}$:
$f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}\,(2x - x^2)$
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Regel |
|---|---|---|
| $e^x$ | $e^x$ | Grundregel |
| $c \cdot e^{kx}$ | $c\,k \cdot e^{kx}$ | Kettenregel |
| $e^{ax + b}$ | $a \cdot e^{ax + b}$ | Kettenregel |
| $x \cdot e^{x}$ | $e^{x}\,(x + 1)$ | Produktregel |
| $(ax + b) \cdot e^{kx}$ | $e^{kx}\,\big(a + k(ax + b)\big)$ | Produkt- und Kettenregel |
| $a^x$ | $\ln(a) \cdot a^x$ | wegen $a^x = e^{x \ln a}$ |
Stammfunktion
Kontrolle: Leite Dein Ergebnis ab – es muss wieder die Ausgangsfunktion herauskommen. Bei Produkten wie $x \cdot e^x$ braucht man die partielle Integration oder man prüft eine gegebene Stammfunktion durch Ableiten (so ist es im Abitur meist gefragt).
e-Gleichungen lösen
Der natürliche Logarithmus $\ln$ ist die Umkehrfunktion der e-Funktion: $\ln(e^x) = x$ und $e^{\ln x} = x$. Deshalb gilt:
Drei typische Fälle
1. Umstellen und logarithmieren: $2e^{3x} - 6 = 0 \;\Rightarrow\; e^{3x} = 3 \;\Rightarrow\; 3x = \ln 3 \;\Rightarrow\; x = \frac{\ln 3}{3} \approx 0{,}366$
2. Satz vom Nullprodukt: $(x^2 - 4)\,e^{x} = 0$. Weil $e^x$ nie 0 ist, muss $x^2 - 4 = 0$ sein: $x = \pm 2$.
3. Substitution: $e^{2x} - 5e^{x} + 6 = 0$. Mit $z = e^x$ wird daraus $z^2 - 5z + 6 = 0$, also $z = 2$ oder $z = 3$. Rücksubstitution: $x = \ln 2$ oder $x = \ln 3$.
Achtung
$e^{x} = -2$ oder $e^{x} = 0$ haben keine Lösung, weil die e-Funktion immer positiv ist. Bei der Substitution fallen negative Lösungen für $z$ deshalb weg.
Beispiel: Kurvendiskussion von $f(x) = x \cdot e^{-x}$
Diese Funktion ist ein Klassiker im Abitur. So gehst Du vor:
- Ableitungen (Produktregel): $f'(x) = (1 - x)\,e^{-x}$, $\;f''(x) = (x - 2)\,e^{-x}$, $\;f'''(x) = (3 - x)\,e^{-x}$.
- Nullstelle: $x \cdot e^{-x} = 0 \Rightarrow x = 0$ (die e-Funktion ist nie 0).
- Extrempunkt: $f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$. Wegen $f''(1) = -e^{-1} < 0$ ist das ein Hochpunkt: $H\left(1 \mid \frac{1}{e}\right) \approx H(1 \mid 0{,}37)$.
- Wendepunkt: $f''(x) = 0 \Rightarrow x = 2$, $f'''(2) = e^{-2} \neq 0$: $W\left(2 \mid \frac{2}{e^2}\right) \approx W(2 \mid 0{,}27)$.
- Verhalten im Unendlichen: Für $x \to \infty$ gilt $x \cdot e^{-x} \to 0$, denn die e-Funktion wächst schneller als jede Potenz von $x$. Für $x \to -\infty$ geht $f(x) \to -\infty$.
Merksatz für Grenzwerte
„Die e-Funktion gewinnt immer“: $x^n \cdot e^{-x} \to 0$ und $\frac{e^x}{x^n} \to \infty$ für $x \to \infty$ – egal wie groß $n$ ist.
Wachstum und Zerfall
Viele Vorgänge lassen sich mit $f(t) = a \cdot e^{k t}$ beschreiben: $a$ ist der Anfangswert, $k > 0$ bedeutet Wachstum, $k < 0$ Zerfall. Die Änderungsrate $f'(t) = k \cdot f(t)$ ist proportional zum Bestand – genau das macht exponentielles Wachstum aus. Die Grundlagen (Wachstumsfaktor, Verdopplungs- und Halbwertszeit) stehen unter Exponentialfunktionen.
Online üben
Stufe 2: Produkt- und Kettenregel
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Aufgabe 1
\(f(x) = e^{-2x^{2} - x}\)\(f'(x) = (-4x - 1)\,e^{-2x^{2} - x}\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = (3x + 1)\,e^{3x}\)\(f'(x) = e^{3x}\left(9x + 6\right)\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = x\,e^{3x}\)\(f'(x) = e^{3x}\left(3x + 1\right)\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = e^{x^{2} - x}\)\(f'(x) = (2x - 1)\,e^{x^{2} - x}\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = (3x - 5)\,e^{x}\)\(f'(x) = e^{x}\left(3x - 2\right)\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = (-x - 5)\,e^{-x}\)\(f'(x) = e^{-x}\left(x + 4\right)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: e-Funktion: ableiten und Gleichungen lösen
Bis zu 10 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Eigene Funktion ableiten? Der Ableitungsrechner zeigt jeden Schritt. Die komplette Untersuchung macht der Kurvendiskussion-Rechner, Gleichungen wie $2e^{3x} - 6 = 0$ löst der Nullstellenrechner. Mehr zum Logarithmus: ln-Funktion und Logarithmus.
Weiterlesen: Exponentialfunktion bei Wikipedia