Kurvendiskussion-Rechner
Gib eine Funktion ein – der Rechner führt die komplette Kurvendiskussion durch: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Polstellen und Asymptoten, Monotonie, Krümmung und Verhalten an den Rändern. Das klappt für Polynome ebenso wie für e-Funktionen, ln-Funktionen, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen. Auf Wunsch berechnet er auch die Tangente.
Ergebnis
Kurvendiskussion von $f(x) = x^{2}\,\sin\left(x\right)$:
| Definitionsbereich | \(D = \mathbb{R}\) |
|---|---|
| Nullstellen | \(-2\pi\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\), \(2\pi\) |
| Hochpunkte | \(H\left(-5{,}087 \,\middle|\, 24{,}083\right)\), \(H\left(2{,}289 \,\middle|\, 3{,}945\right)\) |
| Tiefpunkte | \(T\left(-2{,}289 \,\middle|\, -3{,}945\right)\), \(T\left(5{,}087 \,\middle|\, -24{,}083\right)\) |
| Wendepunkte | \(W\left(-3{,}994 \,\middle|\, 12{,}017\right)\), \(W\left(-1{,}52 \,\middle|\, -2{,}307\right)\), \(S\left(0 \,\middle|\, 0\right)\), \(W\left(1{,}52 \,\middle|\, 2{,}307\right)\), \(W\left(3{,}994 \,\middle|\, -12{,}017\right)\) |
| Asymptoten | keine |
Wegen der trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele besondere Stellen. Untersucht wird das Intervall $\left[-2\pi;\ 2\pi\right]$.
Werte mit ≈ sind auf drei Nachkommastellen gerundet. Exakte Werte wurden mit dem Computeralgebrasystem Maxima berechnet.
Rechenweg
Ableitungen
Die Ableitungen wurden mit den Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) gebildet und vereinfacht. Den ausführlichen Rechenweg zeigt der Ableitungsrechner.
\[f(x) = x^{2}\,\sin\left(x\right)\]\[f'(x) = 2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)\]\[f''(x) = \left(2 - x^{2}\right)\,\sin\left(x\right) + 4\,x\,\cos\left(x\right)\]\[f'''(x) = \left(6 - x^{2}\right)\,\cos\left(x\right) - 6\,x\,\sin\left(x\right)\]Definitionsbereich
Im Funktionsterm gibt es keinen Nenner mit x, keinen Logarithmus und keine Wurzel – die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert.
\[D = \mathbb{R}\]Symmetrie
Es gilt f(−x) = −f(x): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
\[f(-x) = -f(x)\]Verhalten an den Rändern und Asymptoten
Untersucht wird, wie sich f(x) für x → ±∞ und bei Annäherung an die Ränder bzw. Lücken des Definitionsbereichs verhält. Strebt f(x) gegen ±∞, hat der Graph dort eine senkrechte Asymptote; strebt f(x) für x → ±∞ gegen eine Zahl, eine waagerechte.
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{existiert nicht}\]\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = \text{existiert nicht}\]Schnittpunkt mit der y-Achse
Setze x = 0 ein.
\[f(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad S_y\left(0 \,\middle|\, 0\right)\]Nullstellen
Setze f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist; ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist (und der Nenner nicht). Faktoren wie eˣ werden nie 0.
\[f(x) = 0\]\[x_{1} = -2\pi \approx -6{,}283,\quad x_{2} = -\pi \approx -3{,}142,\quad x_{3} = 0,\quad x_{4} = \pi \approx 3{,}142,\quad x_{5} = 2\pi \approx 6{,}283\]Extrempunkte
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Hinreichend: f''(x) < 0 (Hochpunkt) bzw. f''(x) > 0 (Tiefpunkt); ist f''(x) = 0, entscheidet der Vorzeichenwechsel von f'.
\[f'(x) = 2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) = 0\]\[f''(-5{,}087) \approx -29{,}667 < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]\[f(-5{,}087) \approx 24{,}083\]\[f''(-2{,}289) \approx 8{,}464 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]\[f(-2{,}289) \approx -3{,}945\]\[f''(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Vorzeichen von } f' \text{: } + \to +\quad\Rightarrow\quad \text{kein Extremum (Sattelpunkt)}\]\[f(0) = 0\]\[f''(2{,}289) \approx -8{,}464 < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]\[f(2{,}289) \approx 3{,}945\]\[f''(5{,}087) \approx 29{,}667 > 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Tiefpunkt}\]\[f(5{,}087) \approx -24{,}083\]Wendepunkte
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichend: f'''(x) ≠ 0 bzw. ein Vorzeichenwechsel von f''. Ist dort zusätzlich f'(x) = 0, ist es ein Sattelpunkt.
\[f''(x) = \left(2 - x^{2}\right)\,\sin\left(x\right) + 4\,x\,\cos\left(x\right) = 0\]\[f'''(-3{,}994) \approx 24{,}6 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(-3{,}994) \approx 12{,}017\]\[f'''(-1{,}52) \approx -8{,}919 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(-1{,}52) \approx -2{,}307\]\[f'''(0) = 6 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(0) = 0,\quad f'(0) = 0 \;\Rightarrow\; \text{Sattelpunkt}\]\[f'''(1{,}52) \approx -8{,}919 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(1{,}52) \approx 2{,}307\]\[f'''(3{,}994) \approx 24{,}6 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Wendepunkt}\]\[f(3{,}994) \approx -12{,}017\]Monotonie
Zwischen den Nullstellen von f' und den Lücken des Definitionsbereichs ändert f' sein Vorzeichen nicht. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(-2\pi;\ -5{,}087\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \(\left(-5{,}087;\ -2{,}289\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \(\left(-2{,}289;\ 0\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \(\left(0;\ 2{,}289\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \(\left(2{,}289;\ 5{,}087\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \(\left(5{,}087;\ 2\pi\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend Krümmung
Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt, wo f''(x) < 0 ist, rechtsgekrümmt.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(-2\pi;\ -3{,}994\right)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt \(\left(-3{,}994;\ -1{,}52\right)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt \(\left(-1{,}52;\ 0\right)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt \(\left(0;\ 1{,}52\right)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt \(\left(1{,}52;\ 3{,}994\right)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt \(\left(3{,}994;\ 2\pi\right)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt
Graph
N = Nullstelle, H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt; gestrichelt: Asymptoten.
So funktioniert der Rechner
Der Rechner arbeitet wie Du im Heft – und zwar exakt mit Brüchen, Wurzeln, e und π:
- Polynome rechnet er Schritt für Schritt wie im Unterricht: Ausklammern, Nullstelle raten mit Polynomdivision, pq- bzw. abc-Formel.
- Alle anderen Funktionen (e-, ln-, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen) untersucht er mit dem Computeralgebrasystem Maxima: Definitionsbereich, Polstellen und hebbare Lücken, senkrechte, waagerechte und schräge Asymptoten, Grenzwerte an den Rändern und alle besonderen Punkte. Jede gefundene Stelle wird zusätzlich numerisch geprüft.
- Nur wenn es keine „schöne“ Lösung gibt, rechnet er mit einem Näherungsverfahren und kennzeichnet die Werte mit ≈. Bei trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele besondere Stellen – angegeben werden die im Intervall [−2π; 2π].
Eingabe: x^3 für x³, e^(-x) oder exp(-x), ln(x), sqrt(x) für √x, sin(x), Brüche mit / wie (x^2-4)/(x-1), Malpunkt * darf fehlen: 2x e^x. Den Rechenweg der Ableitungen zeigt der Ableitungsrechner.
Alle Schritte im Detail erklärt findest Du unter Kurvendiskussion. Steht in Deiner Funktion ein Parameter wie a oder k (eine Funktionenschar), nutze den Funktionenschar-Rechner – er berechnet die Punkte in Abhängigkeit vom Parameter und die Ortskurve.