ln-Funktion
Die natürliche Logarithmusfunktion $f(x) = \ln(x)$ ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Du brauchst sie zum Lösen von e-Gleichungen, beim Ableiten und Integrieren – und sie ist selbst ein beliebter Baustein für Abituraufgaben.
Was ist ln?
$\ln(x)$ beantwortet die Frage: Mit welcher Zahl muss ich $e$ potenzieren, um $x$ zu erhalten?
Weil ln und e-Funktion sich gegenseitig aufheben, gilt $\ln(e^x) = x$ für alle $x$ und $e^{\ln x} = x$ für alle $x > 0$. Der Graph von $\ln$ ist der an der Geraden $y = x$ gespiegelte Graph von $e^x$.
Eigenschaften von $f(x) = \ln(x)$
- Definitionsbereich $D = (0;\ \infty)$: ln gibt es nur von positiven Zahlen. Wertebereich $W = \mathbb{R}$.
- Einzige Nullstelle bei $x = 1$, denn $\ln(1) = 0$.
- Streng monoton steigend, aber sehr langsam; rechtsgekrümmt.
- Für $x \to 0^+$ geht $\ln(x) \to -\infty$: Die y-Achse ist senkrechte Asymptote.
Rechenregeln
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$ | $\ln(6) = \ln(2) + \ln(3)$ |
| $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ | $\ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln(x)$ |
| $\ln(a^r) = r \cdot \ln(a)$ | $\ln(x^3) = 3\ln(x)$ (für $x > 0$) |
| $\ln(e^x) = x,\quad e^{\ln x} = x$ | $e^{2\ln 3} = e^{\ln 9} = 9$ |
Diese Regeln gelten für jeden Logarithmus. Wie man mit $\log_a$ und $\lg$ rechnet, steht unter Logarithmus.
Definitionsbereich bei verketteten Funktionen
Steht im ln ein Term, muss dieser Term positiv sein:
- $f(x) = \ln(2x - 4)$: $\;2x - 4 > 0 \Rightarrow x > 2$, also $D = (2;\ \infty)$.
- $f(x) = \ln(x^2 + 1)$: $\;x^2 + 1 > 0$ gilt immer, also $D = \mathbb{R}$.
- $f(x) = \ln(x^2)$: $\;x^2 > 0$ für alle $x \neq 0$, also $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Ableitung
Die zweite Formel ist die Kettenregel: innere Ableitung durch innere Funktion.
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Begründung |
|---|---|---|
| $3\ln(x)$ | $\frac{3}{x}$ | Faktorregel |
| $\ln(5x)$ | $\frac{1}{x}$ | $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$ – die Konstante fällt weg |
| $\ln(2x + 1)$ | $\frac{2}{2x + 1}$ | Kettenregel |
| $\ln(x^2 + 4)$ | $\frac{2x}{x^2 + 4}$ | Kettenregel |
| $x \cdot \ln(x)$ | $\ln(x) + 1$ | Produktregel: $1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$ |
| $\frac{\ln x}{x}$ | $\frac{1 - \ln x}{x^2}$ | Quotientenregel |
Stammfunktionen mit ln
Weil $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ ist, schließt der ln die Lücke in der Potenzregel – $x^{-1}$ lässt sich nicht mit $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ integrieren:
Die Betragsstriche sorgen dafür, dass die Stammfunktion auch für negative $x$ gilt. Beispiel: $\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$ – hier steht im Zähler genau die Ableitung des Nenners.
ln-Gleichungen lösen
Gegen den ln hilft die e-Funktion – wende sie auf beide Seiten an:
Beispiele
$\ln(x) = 2 \;\Rightarrow\; x = e^2 \approx 7{,}39$
$2\ln(x) + 4 = 0 \;\Rightarrow\; \ln(x) = -2 \;\Rightarrow\; x = e^{-2} \approx 0{,}135$
$\ln(2x - 1) = 0 \;\Rightarrow\; 2x - 1 = e^0 = 1 \;\Rightarrow\; x = 1$
Probe nicht vergessen
Prüfe am Ende, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt. Bei $\ln(x) + \ln(x - 3) = \ln(4)$ ergibt das Umformen $x(x - 3) = 4$, also $x = 4$ oder $x = -1$ – aber $\ln(-1)$ gibt es nicht. Nur $x = 4$ ist eine Lösung.
Beispiel: Kurvendiskussion von $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$
- Definitionsbereich: $D = (0;\ \infty)$.
- Ableitungen (Quotientenregel): $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$, $\;f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$.
- Nullstelle: $\ln(x) = 0 \Rightarrow x = 1$, also $N(1 \mid 0)$.
- Extrempunkt: $1 - \ln x = 0 \Rightarrow x = e$. Wegen $f''(e) = -\frac{1}{e^3} < 0$ ist das ein Hochpunkt: $H\left(e \mid \frac{1}{e}\right) \approx H(2{,}72 \mid 0{,}37)$.
- Wendepunkt: $2\ln x - 3 = 0 \Rightarrow x = e^{1{,}5} \approx 4{,}48$, mit $f\left(e^{1{,}5}\right) = \frac{1{,}5}{e^{1{,}5}} \approx 0{,}33$.
- Ränder: Für $x \to 0^+$ geht $f(x) \to -\infty$ (senkrechte Asymptote $x = 0$). Für $x \to \infty$ geht $f(x) \to 0$, weil $x$ schneller wächst als $\ln x$ (waagerechte Asymptote $y = 0$).
Online üben
Stufe 2: Ketten- und Produktregel
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Aufgabe 1
\(f(x) = 3x\ln(x)\)\(f'(x) = 3\ln(x) + 3\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = \ln(2x + 2)\)\(f'(x) = \frac{2}{2x + 2}\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = \ln(5x + 7)\)\(f'(x) = \frac{5}{5x + 7}\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = x^{2}\ln(x)\)\(f'(x) = 2x\ln(x) + x\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = x\ln(x)\)\(f'(x) = \ln(x) + 1\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = 2x\ln(x)\)\(f'(x) = 2\ln(x) + 2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: ln-Funktion: ableiten, Gleichungen, Stammfunktionen
Bis zu 10 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Zum Vergleich und für e-Gleichungen: e-Funktion. Ableitungen mit Rechenweg zeigt der Ableitungsrechner, die ganze Untersuchung von $\frac{\ln x}{x}$ der Kurvendiskussion-Rechner. Gleichungen wie $\ln(x) - 1 = 0$ löst der Nullstellenrechner.
Weiterlesen: Natürlicher Logarithmus bei Wikipedia