Nullstellen berechnen
Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph einer Funktion die x-Achse trifft. Sie gehören zu jeder Kurvendiskussion und tauchen in fast jeder Klassenarbeit auf. Hier lernst Du, woran Du erkennst, welches Verfahren passt – vom einfachen Umstellen über pq-Formel und Substitution bis zur Polynomdivision und zu e-Funktionen.
Was ist eine Nullstelle?
Eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist eine Zahl $x_0$, für die $f(x_0) = 0$ gilt. Am Graphen ist das der Schnittpunkt mit der x-Achse $N(x_0 \mid 0)$ – dort ist die Höhe des Graphen genau 0.
Merke
Nullstellen berechnen heißt: Setze den Funktionsterm gleich 0 und löse die Gleichung $f(x) = 0$ nach $x$ auf.
$f(x) = x^2 - 2x - 3$ hat die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$.
Welches Verfahren passt?
Schau Dir zuerst den Term genau an – dann ist meist klar, was zu tun ist:
| So sieht der Term aus | Beispiel | Verfahren |
|---|---|---|
| nur $x$ (ohne Potenz) und eine Zahl | $3x - 6$ | nach $x$ umstellen |
| $x^2$, $x$ und eine Zahl | $x^2 - 2x - 3$ | pq-Formel bzw. abc-Formel |
| keine Zahl ohne $x$ | $x^3 - 4x$ | $x$ ausklammern, Satz vom Nullprodukt |
| $x^2$ und eine Zahl, kein $x$ | $2x^2 - 18$ | nach $x^2$ auflösen, Wurzel ziehen ($\pm$!) |
| nur $x^4$, $x^2$ und eine Zahl | $x^4 - 5x^2 + 4$ | Substitution $z = x^2$ |
| Grad 3 oder höher, mit Zahl | $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ | Nullstelle raten, Polynomdivision |
| Produkt | $(x - 1)^2 (x + 3)$ | Satz vom Nullprodukt – nicht ausmultiplizieren! |
| mit e-Funktion | $(x^2 - 4)\,e^{x}$, $\;2e^{3x} - 6$ | $e^{\dots}$ ist nie 0; sonst umstellen und $\ln$ anwenden |
| Bruch | $\frac{x^2 - 4}{x - 1}$ | Zähler = 0 und Nenner ≠ 0 |
| nichts davon | $x - \cos(x)$ | Näherungsverfahren (Intervallhalbierung, Newton) |
1. Lineare Funktionen
Bei $f(x) = mx + b$ stellst Du einfach nach $x$ um:
Eine Gerade hat genau eine Nullstelle – außer sie ist waagerecht ($m = 0$): Dann hat sie keine (oder ist die x-Achse selbst).
2. Quadratische Funktionen
Steht $x^2$, $x$ und eine Zahl im Term, hilft die pq-Formel. Dazu muss vor $x^2$ eine 1 stehen – sonst teilst Du vorher durch die Zahl davor:
Beispiel
$x^2 - 2x - 3 = 0$: Hier ist $p = -2$ und $q = -3$.
$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -1,\ x_2 = 3$
Ist die Zahl unter der Wurzel negativ, gibt es keine Nullstelle; ist sie 0, gibt es genau eine (doppelte). Mehr dazu unter pq-Formel und Satz von Vieta.
Zwei Abkürzungen
Keine Zahl am Ende: $x^2 - 5x = 0 \;\Rightarrow\; x\,(x - 5) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0,\ x_2 = 5$.
Kein $x$-Summand: $2x^2 - 18 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = 9 \;\Rightarrow\; x = \pm 3$. Vergiss die negative Lösung nicht!
3. Ausklammern und Satz vom Nullprodukt
Gibt es keinen Summanden ohne $x$, klammerst Du die kleinste Potenz von $x$ aus. Dann nutzt Du den wichtigsten Satz zum Nullstellenberechnen:
Satz vom Nullprodukt
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist: $\;a \cdot b = 0 \;\Leftrightarrow\; a = 0 \text{ oder } b = 0$.
Beispiel
$x^3 - 4x = 0 \;\Leftrightarrow\; x\,(x^2 - 4) = 0$
$x = 0 \quad\text{oder}\quad x^2 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = \pm 2$. Die Nullstellen sind $-2$, $0$ und $2$.
Achtung: nicht durch x teilen
Wer $x^3 - 4x = 0$ durch $x$ teilt, verliert die Lösung $x = 0$. Ausklammern ist immer besser als Teilen!
4. Substitution bei biquadratischen Gleichungen
Kommen nur $x^4$, $x^2$ und eine Zahl vor, ersetzt Du $x^2$ durch $z$. Weil $x^4 = (x^2)^2 = z^2$ ist, entsteht eine quadratische Gleichung:
Beispiel
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Mit $z = x^2$: $\;z^2 - 5z + 4 = 0 \;\Rightarrow\; z_1 = 1,\ z_2 = 4$ (pq-Formel).
Rücksubstitution: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ und $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Vier Nullstellen: $-2,\ -1,\ 1,\ 2$.
Ist ein $z$ negativ, liefert es keine Nullstelle – ein Quadrat ist nie negativ.
5. Grad 3: Nullstelle raten und Polynomdivision
Bei Funktionen dritten Grades mit einer Zahl am Ende gibt es keine Formel aus der Schule. Stattdessen:
- Raten: Probiere die Teiler der Zahl am Ende ($\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$), bis $f(x_1) = 0$ ist.
- Polynomdivision: Teile den Term durch $(x - x_1)$. Übrig bleibt ein Term zweiten Grades.
- Rest lösen: mit der pq-Formel.
Beispiel
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Teiler von 6 probieren: $f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$, und $x^2 - 5x + 6 = 0$ liefert $x = 2$ und $x = 3$.
Nullstellen: $1,\ 2,\ 3$. Linearfaktorform: $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$.
Wie die Polynomdivision Schritt für Schritt geht, steht unter Polynomdivision.
6. Vielfachheit: schneiden oder berühren?
Kommt ein Linearfaktor mehrfach vor, ist die Nullstelle mehrfach. Das siehst Du am Graphen:
- Einfache (und dreifache, fünffache …) Nullstelle: Der Graph schneidet die x-Achse – die Funktionswerte wechseln das Vorzeichen.
- Doppelte (und vierfache …) Nullstelle: Der Graph berührt die x-Achse nur. Dort liegt dann auch ein Hoch- oder Tiefpunkt.
$f(x) = (x - 1)^2\,(x + 2)$: einfache Nullstelle bei $-2$, doppelte bei $1$.
7. e-Funktion, ln, Wurzel, Bruch und Sinus
| Funktion | Das musst Du wissen | Beispiel |
|---|---|---|
| $e^{\dots}$ | ist immer positiv, also nie 0. In einem Produkt fällt dieser Faktor weg. | $(x^2 - 4)\,e^{x} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ |
| $a \cdot e^{kx} + b$ | nach $e^{kx}$ umstellen, dann $\ln$ anwenden | $2e^{3x} - 6 = 0 \Rightarrow e^{3x} = 3 \Rightarrow x = \frac{\ln 3}{3}$ |
| $\ln(\dots)$ | $\ln(u) = 0$ genau dann, wenn $u = 1$. Nur für $u > 0$ definiert. | $\ln(x - 2) = 0 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$ |
| $\sqrt{\dots}$ | $\sqrt{u} = 0$ genau dann, wenn $u = 0$. Beim Quadrieren immer die Probe machen. | $\sqrt{x + 1} - 3 = 0 \Rightarrow x + 1 = 9 \Rightarrow x = 8$ |
| Bruch | Zähler = 0, aber Nenner ≠ 0 (sonst Definitionslücke) | $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$: nur $x = -2$ |
| $\sin$, $\cos$ | unendlich viele Nullstellen im Abstand der halben Periode | $\sin(x) = 0 \Rightarrow x = k \cdot \pi$ |
Mehr zu den Exponential- und Logarithmusgleichungen findest Du unter e-Funktion und ln-Funktion.
8. Wenn nichts hilft: Näherungsverfahren
Gleichungen wie $x^3 - 3x + 1 = 0$ (keine ganzzahlige Nullstelle) oder $x - \cos(x) = 0$ lassen sich nicht exakt lösen. Dann nähert man die Nullstelle an:
Intervallhalbierung: Haben $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen, liegt dazwischen eine Nullstelle. Teste die Mitte, behalte die Hälfte mit dem Vorzeichenwechsel und wiederhole. Für $f(x) = x^3 - 3x + 1$: $f(0) = 1 > 0$, $f(1) = -1 < 0$, $f(0{,}5) = -0{,}375$, $f(0{,}25) \approx 0{,}27$, $f(0{,}375) \approx -0{,}07$ – die Nullstelle liegt also zwischen 0,25 und 0,375.
Newton-Verfahren: Viel schneller geht es mit der Tangente:
Mit $f'(x) = 3x^2 - 3$ und dem Start $x_0 = 0$ erhältst Du $x_1 \approx 0{,}3333$, $x_2 \approx 0{,}3472$, $x_3 \approx 0{,}3473$ – schon nach drei Schritten sind vier Nachkommastellen richtig.
Typische Fehler
Darauf achten
- Durch $x$ geteilt statt ausgeklammert – dann fehlt $x = 0$.
- Beim Wurzelziehen nur die positive Lösung notiert: $x^2 = 9$ hat zwei Lösungen, $3$ und $-3$.
- Vor der pq-Formel nicht durch die Zahl vor $x^2$ geteilt.
- Ein Produkt ausmultipliziert, statt den Satz vom Nullprodukt zu nutzen – das macht es nur schwerer.
- $e^{x} = 0$ „gelöst“ – das hat keine Lösung.
- Bei Brüchen nicht geprüft, ob der Nenner an der Stelle 0 wird.
Online üben
Stufe 2: Substitution, Ausklammern, Faktorform
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Aufgabe 1
\(f(x) = (x + 4)^{2}(x - 3)\)\(x_1 = -4\ \text{(doppelt)},\; x_2 = 3\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = x^{4} - 25x^{2} + 144\)\(x_1 = -4,\; x_2 = -3,\; x_3 = 3,\; x_4 = 4\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = (3x + 3)(x + 4)\)\(x_1 = -4,\; x_2 = -1\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 15x\)\(x_1 = -3,\; x_2 = 0,\; x_3 = 5\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = (2x - 4)(x + 2)\)\(x_1 = -2,\; x_2 = 2\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = (x - 4)^{2}(x - 3)\)\(x_1 = 3,\; x_2 = 4\ \text{(doppelt)}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Nullstellen berechnen
Bis zu 10 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–11.
Rechner
Deine eigene Aufgabe löst der Nullstellenrechner mit dem passenden Rechenweg, zum Beispiel x⁴ − 5x² + 4, x³ − 6x² + 11x − 6 oder (x² − 4)·eˣ. Hoch-, Tief- und Wendepunkte dazu liefert der Kurvendiskussion-Rechner.
Weiterlesen: Nullstelle bei Wikipedia