Nullstellenrechner
Gib eine Funktion oder eine Gleichung ein. Der Rechner bestimmt alle Nullstellen und zeigt den Rechenweg, den Du auch im Heft gehen würdest: pq-Formel, Ausklammern, Substitution, Polynomdivision oder Satz vom Nullprodukt – für e-, ln- und Wurzelfunktionen mit Umkehrfunktion. Dazu bekommst Du die Vielfachheit jeder Nullstelle und den Graphen.
Rechenweg
Ansatz: f(x) = 0
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Graph die x-Achse trifft. Dort ist der Funktionswert 0 – Du löst also die Gleichung f(x) = 0.
\[f(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left(x^{2} - 4\right)\,\mathrm{e}^{x} = 0\]Satz vom Nullprodukt
Der Term ist ein Produkt. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn (mindestens) ein Faktor 0 ist. Deshalb untersuchst Du jeden Faktor einzeln.
\[\left(x^{2} - 4\right) \cdot \mathrm{e}^{x} = 0\]Faktor 1 ($x^{2} - 4$): Nach $x^{2}$ auflösen und Wurzel ziehen
Wenn kein Summand mit x (ohne Quadrat) vorkommt, brauchst Du keine pq-Formel: Stelle nach x² um und ziehe die Wurzel. Vorsicht: Es gibt zwei Lösungen – eine positive und eine negative.
\[x^{2} - 4 = 0\]\[x^{2} = 4\]\[x = \pm\sqrt{4} = \pm 2\]Faktor 2 ($\mathrm{e}^{x}$)
Eine e-Funktion ist immer größer als 0 – dieser Faktor wird nie 0 und liefert keine Nullstelle.
\[\mathrm{e}^{x} > 0 \quad \text{für alle } x\]
Graph
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.
Übersicht der Nullstellen
| Nullstelle | Dezimalwert | Vielfachheit | Graph an dieser Stelle |
|---|---|---|---|
| \(x_{1} = -2\) | −2 | 1 | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
| \(x_{2} = 2\) | 2 | 1 | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
So findet der Rechner den Lösungsweg
Der Rechner schaut sich zuerst die Form des Terms an und wählt dann das passende Verfahren – genau wie Du in einer Klassenarbeit:
| Form des Terms | Beispiel | Verfahren |
|---|---|---|
| linear | \(3x - 6\) | nach x auflösen |
| quadratisch | \(x^2 - 4x - 5\) | pq-Formel (bzw. abc-Formel) |
| ohne Zahl am Ende | \(x^3 - 2x^2\) | x ausklammern, Satz vom Nullprodukt |
| nur \(x^4\), \(x^2\) und Zahl | \(x^4 - 5x^2 + 4\) | Substitution \(z = x^2\) |
| Grad 3 oder höher | \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) | Nullstelle raten, Polynomdivision |
| Produkt | \((x^2 - 4)\cdot e^x\) | Satz vom Nullprodukt, jeden Faktor einzeln |
| Bruch | \(\frac{x^2 - 4}{x - 1}\) | Zähler = 0, Nenner ≠ 0 |
| e-Funktion, ln, Wurzel | \(2e^{3x} - 6\) | umstellen, Umkehrfunktion (ln, e, Quadrieren) |
| sonstige | \(x - \cos(x)\) | Näherungsverfahren (Intervallhalbierung) |
Alle Verfahren mit Beispielen und Übungsaufgaben erklärt die Seite Nullstellen berechnen. Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und Asymptoten auf einmal liefert der Kurvendiskussion-Rechner, die schriftliche Polynomdivision im Detail der Polynomdivision-Rechner.