Nullstellenrechner
Gib eine Funktion oder eine Gleichung ein. Der Rechner bestimmt alle Nullstellen und zeigt den Rechenweg, den Du auch im Heft gehen würdest: pq-Formel, Ausklammern, Substitution, Polynomdivision oder Satz vom Nullprodukt – für e-, ln- und Wurzelfunktionen mit Umkehrfunktion. Dazu bekommst Du die Vielfachheit jeder Nullstelle und den Graphen.
Ergebnis
Die Funktion hat 2 Nullstellen:
Rechenweg
Ansatz: f(x) = 0
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Graph die x-Achse trifft. Dort ist der Funktionswert 0 – Du löst also die Gleichung f(x) = 0.
\[f(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{e}^{2\,x} - 5\,\mathrm{e}^{x} + 6 = 0\]Substitution z = eˣ
Die Gleichung enthält e^(2x) = (eˣ)² und eˣ. Mit z = eˣ wird daraus eine quadratische Gleichung.
\[\mathrm{e}^{2\,x} - 5\,\mathrm{e}^{x} + 6 = 0\]\[z = \mathrm{e}^{x}:\quad z^{2} - 5z + 6 = 0\]Gleichung für z: pq-Formel
Teile zuerst durch die Zahl vor z² (Normalform), lies p und q ab und setze in die pq-Formel ein. Die pq-Formel liefert zwei Lösungen.
\[z^{2} - 5z + 6 = 0 \qquad p = -5,\; q = 6\]\[z_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2} - 6} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\]\[z_1 = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2,\quad z_2 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3\]Rücksubstitution
Setze z = eˣ wieder ein und logarithmiere. Weil eˣ immer positiv ist, liefern nur positive Lösungen z eine Lösung für x.
\[z_1 = 2:\quad \mathrm{e}^{x} = 2 \quad\Rightarrow\quad x = \ln\left(2\right) \approx 0{,}6931\]\[z_2 = 3:\quad \mathrm{e}^{x} = 3 \quad\Rightarrow\quad x = \ln\left(3\right) \approx 1{,}0986\]
Graph
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.
Übersicht der Nullstellen
| Nullstelle | Dezimalwert | Vielfachheit | Graph an dieser Stelle |
|---|---|---|---|
| \(x_{1} = \ln\left(2\right)\) | 0,6931 | 1 | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
| \(x_{2} = \ln\left(3\right)\) | 1,0986 | 1 | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
So findet der Rechner den Lösungsweg
Der Rechner schaut sich zuerst die Form des Terms an und wählt dann das passende Verfahren – genau wie Du in einer Klassenarbeit:
| Form des Terms | Beispiel | Verfahren |
|---|---|---|
| linear | \(3x - 6\) | nach x auflösen |
| quadratisch | \(x^2 - 4x - 5\) | pq-Formel (bzw. abc-Formel) |
| ohne Zahl am Ende | \(x^3 - 2x^2\) | x ausklammern, Satz vom Nullprodukt |
| nur \(x^4\), \(x^2\) und Zahl | \(x^4 - 5x^2 + 4\) | Substitution \(z = x^2\) |
| Grad 3 oder höher | \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) | Nullstelle raten, Polynomdivision |
| Produkt | \((x^2 - 4)\cdot e^x\) | Satz vom Nullprodukt, jeden Faktor einzeln |
| Bruch | \(\frac{x^2 - 4}{x - 1}\) | Zähler = 0, Nenner ≠ 0 |
| e-Funktion, ln, Wurzel | \(2e^{3x} - 6\) | umstellen, Umkehrfunktion (ln, e, Quadrieren) |
| sonstige | \(x - \cos(x)\) | Näherungsverfahren (Intervallhalbierung) |
Alle Verfahren mit Beispielen und Übungsaufgaben erklärt die Seite Nullstellen berechnen. Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und Asymptoten auf einmal liefert der Kurvendiskussion-Rechner, die schriftliche Polynomdivision im Detail der Polynomdivision-Rechner.