Nullstellenrechner
Gib eine Funktion oder eine Gleichung ein. Der Rechner bestimmt alle Nullstellen und zeigt den Rechenweg, den Du auch im Heft gehen würdest: pq-Formel, Ausklammern, Substitution, Polynomdivision oder Satz vom Nullprodukt – für e-, ln- und Wurzelfunktionen mit Umkehrfunktion. Dazu bekommst Du die Vielfachheit jeder Nullstelle und den Graphen.
Ergebnis
Die Funktion hat 4 Nullstellen:
Rechenweg
Ansatz: f(x) = 0
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Graph die x-Achse trifft. Dort ist der Funktionswert 0 – Du löst also die Gleichung f(x) = 0.
\[f(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0\]Substitution z = x²
Es kommen nur x⁴, x² und eine Zahl vor (biquadratische Gleichung). Ersetze x² durch z – wegen x⁴ = (x²)² wird daraus eine quadratische Gleichung.
\[x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0\]\[z = x^{2}:\quad z^{2} - 5z + 4 = 0\]Quadratische Gleichung für z lösen (pq-Formel)
Die pq-Formel liefert zwei Lösungen.
\[z^{2} - 5z + 4 = 0 \qquad p = -5,\; q = 4\]\[z_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2} - 4} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}\]\[z_1 = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1,\quad z_2 = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4\]Rücksubstitution
Setze für jede Lösung z wieder z = x² ein und ziehe die Wurzel. Aus einer positiven Lösung z werden zwei Lösungen für x, aus einer negativen keine.
\[z_1 = 1:\quad x^{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 1\]\[z_2 = 4:\quad x^{2} = 4 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 2\]Linearfaktorzerlegung
Mit allen Nullstellen lässt sich der Term als Produkt schreiben. Die Hochzahlen sind die Vielfachheiten. Ausmultipliziert ergibt sich wieder der Ausgangsterm – eine gute Probe.
\[x^{4} - 5x^{2} + 4 = (x + 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)\]
Graph
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.
Übersicht der Nullstellen
| Nullstelle | Dezimalwert | Vielfachheit | Graph an dieser Stelle |
|---|---|---|---|
| \(x_{1} = -2\) | −2 | 1 | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
| \(x_{2} = -1\) | −1 | 1 | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
| \(x_{3} = 1\) | 1 | 1 | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
| \(x_{4} = 2\) | 2 | 1 | schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel) |
So findet der Rechner den Lösungsweg
Der Rechner schaut sich zuerst die Form des Terms an und wählt dann das passende Verfahren – genau wie Du in einer Klassenarbeit:
| Form des Terms | Beispiel | Verfahren |
|---|---|---|
| linear | \(3x - 6\) | nach x auflösen |
| quadratisch | \(x^2 - 4x - 5\) | pq-Formel (bzw. abc-Formel) |
| ohne Zahl am Ende | \(x^3 - 2x^2\) | x ausklammern, Satz vom Nullprodukt |
| nur \(x^4\), \(x^2\) und Zahl | \(x^4 - 5x^2 + 4\) | Substitution \(z = x^2\) |
| Grad 3 oder höher | \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) | Nullstelle raten, Polynomdivision |
| Produkt | \((x^2 - 4)\cdot e^x\) | Satz vom Nullprodukt, jeden Faktor einzeln |
| Bruch | \(\frac{x^2 - 4}{x - 1}\) | Zähler = 0, Nenner ≠ 0 |
| e-Funktion, ln, Wurzel | \(2e^{3x} - 6\) | umstellen, Umkehrfunktion (ln, e, Quadrieren) |
| sonstige | \(x - \cos(x)\) | Näherungsverfahren (Intervallhalbierung) |
Alle Verfahren mit Beispielen und Übungsaufgaben erklärt die Seite Nullstellen berechnen. Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und Asymptoten auf einmal liefert der Kurvendiskussion-Rechner, die schriftliche Polynomdivision im Detail der Polynomdivision-Rechner.