Hypothesentest
Ein Hersteller behauptet: Höchstens 10 % seiner Bauteile sind fehlerhaft. Ein Kunde prüft 50 Teile und findet 9 fehlerhafte – erwartet hätte er etwa 5. Ist das noch normaler Zufall, oder stimmt die Angabe nicht? Ein Hypothesentest gibt Dir eine klare Regel, mit der Du das entscheidest – und sagt Dir, wie oft Du Dich dabei irren kannst.
Die Idee in vier Schritten
- Hypothesen aufstellen: Die Nullhypothese $H_0$ ist die Behauptung, die getestet wird. Die Gegenhypothese $H_1$ ist das, was Du nachweisen möchtest.
- Testgröße festlegen: $X$ zählt die Treffer in einer Stichprobe vom Umfang $n$. Wenn $H_0$ gilt, ist $X$ binomialverteilt mit $p_0$.
- Entscheidungsregel bestimmen: Mit dem Signifikanzniveau $\alpha$ legst Du vorher fest, welche Ergebnisse so unwahrscheinlich sind, dass Du $H_0$ ablehnst – das ist der Ablehnungsbereich $\overline{A}$.
- Entscheiden: Liegt das Stichprobenergebnis in $\overline{A}$, wird $H_0$ abgelehnt. Sonst wird $H_0$ beibehalten.
Nullhypothese und Gegenhypothese
Merke
- Was Du nachweisen möchtest, gehört in die Gegenhypothese $H_1$.
- Die Nullhypothese $H_0$ ist das Gegenteil davon. Sie enthält immer den Grenzfall $p = p_0$ – also eines der Zeichen $\leq$, $\geq$ oder $=$.
- Abgelehnt wird $H_0$ nur bei deutlichen Gegenbeweisen. Darum ist eine Ablehnung eine starke Aussage, ein Beibehalten dagegen nicht.
| Was soll gezeigt werden? | Hypothesen | Test | Gegen $H_0$ sprechen … |
|---|---|---|---|
| Die Wahrscheinlichkeit ist größer als $p_0$. | $H_0\!: p \leq p_0$ $H_1\!: p > p_0$ | rechtsseitig | viele Treffer |
| Die Wahrscheinlichkeit ist kleiner als $p_0$. | $H_0\!: p \geq p_0$ $H_1\!: p < p_0$ | linksseitig | wenige Treffer |
| Die Wahrscheinlichkeit ist nicht $p_0$. | $H_0\!: p = p_0$ $H_1\!: p \neq p_0$ | zweiseitig | sehr wenige oder sehr viele Treffer |
Achtung: Wer testet?
Die Hypothesen hängen davon ab, wer etwas nachweisen will. Der Kunde möchte zeigen, dass mehr als 10 % fehlerhaft sind: $H_1\!: p > 0{,}1$, also $H_0\!: p \leq 0{,}1$. Der Hersteller möchte dagegen belegen, dass es weniger als 10 % sind: Für ihn gilt $H_1\!: p < 0{,}1$ und $H_0\!: p \geq 0{,}1$. Lies in Aufgaben deshalb genau, aus wessen Sicht getestet wird.
Signifikanzniveau und Ablehnungsbereich
Auch wenn $H_0$ stimmt, kann eine Stichprobe zufällig extrem ausfallen. Das Signifikanzniveau $\alpha$ – meist 5 % oder 1 % – ist die größte Wahrscheinlichkeit, die Du dafür in Kauf nimmst, $H_0$ zu Unrecht abzulehnen. Den Ablehnungsbereich wählst Du deshalb so groß wie möglich, aber so, dass seine Wahrscheinlichkeit unter $H_0$ höchstens $\alpha$ ist:
Merke: Ablehnungsbereich bestimmen (X binomialverteilt mit n und p₀)
- rechtsseitig: $\overline{A} = \{k;\ \ldots;\ n\}$ mit dem kleinsten $k$, für das $P(X \geq k) \leq \alpha$ gilt.
- linksseitig: $\overline{A} = \{0;\ \ldots;\ k\}$ mit dem größten $k$, für das $P(X \leq k) \leq \alpha$ gilt.
- zweiseitig: beide Seiten zusammen, jede mit $\frac{\alpha}{2}$: $\overline{A} = \{0;\ \ldots;\ k_1\} \cup \{k_2;\ \ldots;\ n\}$.
Die übrigen Werte bilden den Annahmebereich $A$.
Tipp: „mindestens“ mit der Tabelle
Tabellen und Taschenrechner liefern meist $P(X \leq k)$. Für die rechte Seite brauchst Du das Gegenereignis: $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ – mit $k - 1$, nicht mit $k$!
Beispiel: rechtsseitiger Test
Der Kunde prüft die Angabe des Herstellers
1. Hypothesen: Der Kunde will zeigen, dass mehr als 10 % fehlerhaft sind: $H_0\!: p \leq 0{,}1$ und $H_1\!: p > 0{,}1$. Viele fehlerhafte Teile sprechen gegen $H_0$ – der Test ist rechtsseitig.
2. Testgröße: $X$ = Anzahl fehlerhafter Teile unter 50. Unter $H_0$ (Grenzfall $p = 0{,}1$) gilt $X \sim B(50;\ 0{,}1)$ mit $\mu = 5$.
3. Ablehnungsbereich für $\alpha = 5\,\%$: Gesucht ist das kleinste $k$ mit $P(X \geq k) \leq 0{,}05$.
Also ist $\overline{A} = \{10;\ 11;\ \ldots;\ 50\}$ und $A = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 9\}$. Entscheidungsregel: Findet der Kunde mindestens 10 fehlerhafte Teile, lehnt er die Angabe des Herstellers ab.
4. Entscheidung: Gefunden wurden 9 fehlerhafte Teile. Das liegt im Annahmebereich – $H_0$ wird nicht abgelehnt. Mehr als erwartet ist es zwar, aber noch nicht so auffällig, dass der Kunde dem Hersteller einen Fehler nachweisen kann. Bewiesen ist die Angabe damit aber auch nicht.
| k | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|
| 7 | 0,8779 | 0,2298 |
| 8 | 0,9421 | 0,1221 |
| 9 | 0,9755 | 0,0579 |
| 10 | 0,9906 | 0,0245 |
| 11 | 0,9968 | 0,0094 |
| 12 | 0,9990 | 0,0032 |
Das Histogramm zeigt die Verteilung unter $H_0$. Die dunklen Säulen bilden den Ablehnungsbereich – zusammen haben sie nur etwa 2,5 % Wahrscheinlichkeit:
Ablehnungsbereich Annahmebereich (ab k = 21 sind die Säulen praktisch 0)
Beispiel: linksseitiger Test
Hält das Versprechen von 60 %?
Ein Anbieter wirbt damit, dass mindestens 60 % seiner Kunden zufrieden sind. Eine Verbraucherzentrale vermutet weniger und befragt 100 Kunden. Getestet wird $H_0\!: p \geq 0{,}6$ gegen $H_1\!: p < 0{,}6$ auf dem Niveau $\alpha = 5\,\%$. Wenige zufriedene Kunden sprechen gegen $H_0$ – der Test ist linksseitig.
Gesucht ist das größte $k$ mit $P(X \leq k) \leq 0{,}05$, wobei $X \sim B(100;\ 0{,}6)$:
Also $\overline{A} = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 51\}$: Sind höchstens 51 der 100 Befragten zufrieden, wird die Werbeaussage abgelehnt.
Beispiel: zweiseitiger Test
Ist der Würfel fair?
Du würfelst 120-mal und zählst die Sechsen. Bei einem fairen Würfel ist $p = \frac{1}{6}$ und $\mu = 20$. Auffällig wären sowohl sehr wenige als auch sehr viele Sechsen: $H_0\!: p = \frac{1}{6}$, $H_1\!: p \neq \frac{1}{6}$. Für $\alpha = 5\,\%$ bekommt jede Seite höchstens $2{,}5\,\%$:
Mit den Nachbarwerten $P(X \leq 12) \approx 0{,}0275$ und $P(X \geq 28) \approx 0{,}0373$ (beide größer als 0,025) folgt
Fallen höchstens 11 oder mindestens 29 Sechsen, hältst Du den Würfel für gezinkt.
Fehler 1. und 2. Art
Ein Test entscheidet mit Hilfe einer Stichprobe – und kann deshalb danebenliegen. Es gibt zwei mögliche Irrtümer:
| In Wahrheit gilt $H_0$ | In Wahrheit gilt $H_1$ | |
|---|---|---|
| $H_0$ wird abgelehnt | Fehler 1. Art | richtige Entscheidung |
| $H_0$ wird beibehalten | richtige Entscheidung | Fehler 2. Art |
Merke
- Fehler 1. Art: $H_0$ stimmt, wird aber abgelehnt. Seine Wahrscheinlichkeit ist $P(X \in \overline{A})$, gerechnet mit $p_0$. Sie ist höchstens $\alpha$ – weil $X$ nur ganze Werte annimmt, meist etwas kleiner (tatsächliches Signifikanzniveau).
- Fehler 2. Art: $H_0$ ist falsch, wird aber beibehalten. Seine Wahrscheinlichkeit $\beta = P(X \in A)$ rechnest Du mit dem wahren $p$ – das muss in der Aufgabe gegeben sein.
Beispiel: Fehler 2. Art beim Kunden-Test
Im rechtsseitigen Beispiel ist $\overline{A} = \{10;\ 11;\ \ldots;\ 50\}$. Der Fehler 1. Art beträgt $P(X \geq 10) \approx 0{,}0245$, also etwa 2,5 %.
Angenommen, in Wahrheit sind sogar 20 % der Teile fehlerhaft. Dann wird $H_0$ trotzdem beibehalten, wenn höchstens 9 fehlerhafte Teile auftauchen. Jetzt rechnest Du mit $p = 0{,}2$:
In etwa 44 % der Fälle bemerkt der Kunde also nicht, dass der Hersteller deutlich schlechter liefert. Die Wahrscheinlichkeit, die Abweichung zu erkennen, heißt Güte oder Macht des Tests: $1 - \beta \approx 0{,}5563$.
Hier ist die Verteilung für das wahre $p = 0{,}2$ zu sehen. Hervorgehoben ist der Annahmebereich – seine Fläche ist $\beta$:
Annahmebereich (ergibt β) Ablehnungsbereich
Tipp: Wie werden die Fehler kleiner?
Ein kleineres $\alpha$ macht den Ablehnungsbereich kleiner – dafür wird der Fehler 2. Art größer. Beide Fehler gleichzeitig verkleinerst Du nur mit einer größeren Stichprobe. Probiere es im Hypothesentest-Rechner aus: Ändere $n$ von 50 auf 200 und vergleiche $\beta$.
Typische Formulierungen im Abitur
| In der Aufgabe steht … | Das ist zu tun |
|---|---|
| „Entwickeln Sie einen Test …“, „Bestimmen Sie eine Entscheidungsregel …“ | Hypothesen aufstellen, Verteilung angeben, Ablehnungsbereich berechnen und in Worten formulieren |
| „… auf einem Signifikanzniveau von 5 %“ | $\alpha = 0{,}05$ – Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs unter $H_0$ höchstens 0,05 |
| „Wählen Sie die Nullhypothese aus Sicht des … so, dass …“ | Was diese Person nachweisen will, gehört in $H_1$ |
| „… irrtümlich abgelehnt“, „… zu Unrecht verworfen“ | Fehler 1. Art: $P(X \in \overline{A})$ mit $p_0$ |
| „… irrtümlich beibehalten, obwohl in Wahrheit $p = \ldots$“ | Fehler 2. Art: $P(X \in A)$ mit dem wahren $p$ |
| „Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang“ | Liegt die Stichprobe in $\overline{A}$? Entscheidung als ganzen Satz zur Situation formulieren |
| „Wie groß muss die Stichprobe mindestens sein, damit …“ | $n$ schrittweise erhöhen (Tabelle, Rechner), bis die Bedingung erfüllt ist |
Achtung: typische Fehler
- Wird $H_0$ beibehalten, ist sie damit nicht bewiesen. Die Daten reichen nur nicht aus, um sie zu widerlegen.
- Beim rechtsseitigen Test ist $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$, nicht $1 - P(X \leq k)$.
- Beim zweiseitigen Test bekommt jede Seite nur $\frac{\alpha}{2}$.
- Der Fehler 2. Art wird mit dem wahren $p$ berechnet, nicht mit $p_0$.
Jeden Test mit Rechenweg, Histogramm und Fehler 2. Art rechnet der Hypothesentest-Rechner. Grundlagen zur Verteilung findest Du bei der Binomialverteilung.
Übungsaufgaben
Stufe 1 übt die Testart und die Hypothesen, Stufe 2 den Ablehnungsbereich, Stufe 3 die Fehler 1. und 2. Art und den zweiseitigen Test. Für Stufe 2 und 3 brauchst Du eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder einen Taschenrechner.
Stufe 3: Fehler 1. und 2. Art, zweiseitiger Test
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Aufgabe 1
\(n = 40,\ p_0 = 0{,}6,\ \overline{A} = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 18\}\text{: Wie groß ist der Fehler 1. Art?}\)\(\alpha' \approx\)\(\alpha' = P(X \leq 18) \approx 0{,}0392\)
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Aufgabe 2
\(n = 80,\ \overline{A} = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 32\},\ \text{in Wahrheit } p = 0{,}35\text{: Fehler 2. Art?}\)\(\beta \approx\)\(\beta = P_{0{,}35}(X \geq 33) \approx 0{,}1460\)
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Aufgabe 3
\(n = 200,\ H_0\!: p = 0{,}2,\ \alpha = 5\,\%\text{ (zweiseitig): Grenzen } k_1 \text{ und } k_2\text{?}\)\(k₁; k₂\)\(P(X \leq 28) \approx 0{,}0179 \leq 0{,}025,\ P(X \geq 52) \approx 0{,}0236 \leq 0{,}025 \;\Rightarrow\; \overline{A} = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 28\} \cup \{52;\ 53;\ \ldots;\ 200\}\)
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Aufgabe 4
\(n = 50,\ p_0 = 0{,}7,\ \overline{A} = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 29\}\text{: Wie groß ist der Fehler 1. Art?}\)\(\alpha' \approx\)\(\alpha' = P(X \leq 29) \approx 0{,}0478\)
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Aufgabe 5
\(n = 100,\ \overline{A} = \{69;\ 70;\ \ldots;\ 100\},\ \text{in Wahrheit } p = 0{,}7\text{: Fehler 2. Art?}\)\(\beta \approx\)\(\beta = P_{0{,}7}(X \leq 68) \approx 0{,}3669\)
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Aufgabe 6
\(n = 120,\ H_0\!: p = 0{,}7,\ \alpha = 5\,\%\text{ (zweiseitig): Grenzen } k_1 \text{ und } k_2\text{?}\)\(k₁; k₂\)\(P(X \leq 73) \approx 0{,}0200 \leq 0{,}025,\ P(X \geq 95) \approx 0{,}0159 \leq 0{,}025 \;\Rightarrow\; \overline{A} = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 73\} \cup \{95;\ 96;\ \ldots;\ 120\}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Hypothesentest (Binomialtest)
Bis zu 8 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Abitur-Aufgabe zum Üben
Zwei Hypothesentests im Sachzusammenhang wie im Abitur – rechtsseitig mit Fehler 1. Art und linksseitig mit Fehler 2. Art. Tippe Deine Ergebnisse ein und lass sie sofort prüfen. Weitere Aufgaben findest Du unter Abitur-Aufgaben üben.
Linksseitiger Test mit Fehler 2. Art · 10 Punkte wie in der Prüfung
Die Bürgermeisterin behauptet: Mindestens 60 % der Bürger sind für den neuen Radweg. Eine Zeitung befragt 50 zufällig ausgewählte Bürger. X ist die Anzahl der Befürworter. Getestet wird H₀: p ≥ 0,6 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Sind es auffällig wenige Befürworter, wird H₀ abgelehnt.
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Teilaufgabe a) · 1 P.
\(\text{Erwartungswert von X, wenn die Bürgermeisterin genau recht hat}\)\(E(X) = 50 \cdot 0{,}6 = 30\)
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Teilaufgabe b) · 4 P.
\(\text{Bis zu wie vielen Befürwortern wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)\(P(X \leq 23) \approx 0{,}0314 \leq 0{,}05,\quad P(X \leq 24) \approx 0{,}0573 > 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{0, \dots, 23\}\)
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Teilaufgabe c) · 2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Stellen)}\)\(\alpha = P(X \leq 23) \approx 0{,}0314\)
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Teilaufgabe d) · 3 P.
\(\text{In Wahrheit sind nur 50\,\% dafür. Wie groß ist der Fehler 2. Art? (4 Stellen)}\)\(\beta = P_{p = 0{,}5}(X \geq 24) = 1 - P(X \leq 23) \approx 0{,}6641\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Weiterlesen: Statistischer Test bei Wikipedia