Mengen und Aussagenlogik
Mengen und Logik sind die Sprache, in der an der Hochschule jede Definition und jeder Satz aufgeschrieben wird. In der Schule kommen sie oft nur am Rand vor – im ersten Semester aber von der ersten Vorlesung an. Hier lernst Du die wichtigsten Schreibweisen und Regeln.
Was ist eine Menge?
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, ihren Elementen. Man schreibt $x \in A$ („$x$ ist Element von $A$“) und $x \notin A$ („$x$ ist kein Element von $A$“).
- aufzählend: $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und jedes Element zählt nur einmal: $\{1, 2, 2\} = \{2, 1\}$.
- beschreibend: $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \lt 10\}$, also $B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Gelesen: „die Menge aller ganzen Zahlen $x$, für die $x^2 \lt 10$ gilt“.
- Die leere Menge $\emptyset = \{\}$ hat kein Element.
- $A \subseteq B$ ($A$ ist Teilmenge von $B$), wenn jedes Element von $A$ auch in $B$ liegt. Zwei Mengen sind gleich, wenn $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ gilt.
- $|A|$ ist die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) einer endlichen Menge, z. B. $|\{1, 2, 3, 4\}| = 4$.
Die Zahlenbereiche
| Zeichen | Name | Beispiele |
|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | natürliche Zahlen | $1, 2, 3, \ldots$ – mit der Null: $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \ldots\}$ |
| $\mathbb{Z}$ | ganze Zahlen | $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ |
| $\mathbb{Q}$ | rationale Zahlen (Brüche) | $\frac{3}{4},\ -2{,}5,\ 0{,}\overline{3}$ |
| $\mathbb{R}$ | reelle Zahlen | alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl, auch $\sqrt{2}$ und $\pi$ |
Es gilt $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Ob die Null zu $\mathbb{N}$ gehört, wird unterschiedlich festgelegt – achte auf die Vereinbarung in Deiner Vorlesung. Später kommen die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ hinzu.
Intervalle
Zusammenhängende Teilmengen von $\mathbb{R}$ schreibt man als Intervall. Eine eckige Klammer, die nach innen zeigt, bedeutet: Die Grenze gehört dazu. Zeigt sie nach außen, gehört die Grenze nicht dazu.
| Intervall | Bedeutung | Name |
|---|---|---|
| $[a;\,b]$ | $a \le x \le b$ | abgeschlossen |
| $]a;\,b[$ | $a \lt x \lt b$ | offen |
| $[a;\,b[$ | $a \le x \lt b$ | halboffen |
| $]a;\,b]$ | $a \lt x \le b$ | halboffen |
| $[a;\,\infty[$ | $x \ge a$ | unbeschränkt |
| $]-\infty;\,b[$ | $x \lt b$ | unbeschränkt |
Bei $\pm\infty$ steht immer eine offene Klammer – unendlich ist keine Zahl. In vielen Büchern und im Englischen schreibt man runde Klammern: $(a, b)$ statt $]a;\,b[$.
Mit Mengen rechnen
Mengenoperationen
- Schnittmenge: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}$
- Vereinigungsmenge: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ oder } x \in B\}$
- Differenzmenge: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ und } x \notin B\}$ („$A$ ohne $B$“)
- Komplement bezüglich einer Grundmenge $G$: $\overline{A} = G \setminus A$
- kartesisches Produkt: $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\ b \in B\}$ – die Menge aller Paare
Beispiel
$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5\}$, Grundmenge $G = \{1, 2, \ldots, 6\}$:
- $A \cap B = \{3, 4\}$, $\quad A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
- $A \setminus B = \{1, 2\}$, $\quad B \setminus A = \{5\}$, $\quad \overline{A} = \{5, 6\}$
- Anzahl: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, hier $4 + 3 - 2 = 5$ – die gemeinsamen Elemente würden sonst doppelt gezählt.
Auch mit Intervallen kannst Du so rechnen: $[1;\,5] \cap\, ]3;\,8[\ =\ ]3;\,5]$ und $[1;\,5] \cup\, ]3;\,8[\ =\ [1;\,8[$. Zeichne beide Intervalle auf einen Zahlenstrahl, dann siehst Du das Ergebnis sofort. Für das Komplement gelten die Regeln von De Morgan: $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ und $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$.
Aussagen und Junktoren
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist – zum Beispiel „7 ist eine Primzahl“ (wahr) oder „$2 + 2 = 5$“ (falsch). Mit Junktoren verknüpft man Aussagen $A$ und $B$ zu neuen Aussagen:
| $A$ | $B$ | $\neg A$ nicht | $A \land B$ und | $A \lor B$ oder | $A \Rightarrow B$ wenn … dann | $A \Leftrightarrow B$ genau dann, wenn |
|---|---|---|---|---|---|---|
| w | w | f | w | w | w | w |
| w | f | f | f | w | f | f |
| f | w | w | f | w | w | f |
| f | f | w | f | f | w | w |
- Das mathematische „oder“ ist einschließend: $A \lor B$ ist auch wahr, wenn beide wahr sind.
- Die Implikation $A \Rightarrow B$ ist nur falsch, wenn $A$ wahr und $B$ falsch ist. „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ wird nicht dadurch falsch, dass die Straße an einem trockenen Tag nass ist (weil jemand gegossen hat). Aus einer falschen Voraussetzung folgt also jede Aussage.
- Mit $n$ Aussagen hat eine Wahrheitstafel $2^n$ Zeilen.
Wichtige Regeln
- Kontraposition: $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$. Statt „Wenn $n^2$ gerade ist, ist $n$ gerade“ darfst Du zeigen: „Wenn $n$ ungerade ist, ist $n^2$ ungerade.“
- Die Umkehrung $B \Rightarrow A$ ist dagegen eine andere Aussage! „Jedes Quadrat ist ein Rechteck“ ist wahr, „jedes Rechteck ist ein Quadrat“ nicht.
- De Morgan: $\neg(A \land B) \Leftrightarrow \neg A \lor \neg B$ und $\neg(A \lor B) \Leftrightarrow \neg A \land \neg B$.
- Verneinung einer Implikation: $\neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \land \neg B$.
Quantoren und richtig verneinen
Aussagen über viele Objekte schreibt man mit Quantoren:
- $\forall x \in M: A(x)$ – „für alle $x$ aus $M$ gilt $A(x)$“. Beispiel: $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \ge 0$ (wahr).
- $\exists x \in M: A(x)$ – „es gibt (mindestens) ein $x$ aus $M$ mit $A(x)$“. Beispiel: $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 = -1$ (falsch).
Verneinen
Beim Verneinen wird aus „für alle“ ein „es gibt“ und umgekehrt, und die Aussage dahinter wird verneint:
„Alle Schwäne sind weiß“ wird verneint zu „Es gibt einen Schwan, der nicht weiß ist“ – nicht zu „Kein Schwan ist weiß“.
Beispiel aus dem ersten Semester
Die Folge $(a_n)$ hat den Grenzwert $a$, wenn gilt:
Die Verneinung („$a$ ist nicht der Grenzwert“) bekommst Du, indem Du jeden Quantor umdrehst und am Ende verneinst:
Die Reihenfolge der Quantoren zählt
$\forall x \in \mathbb{R}\ \exists y \in \mathbb{R}: y \gt x$ ist wahr (zu jeder Zahl gibt es eine größere). $\exists y \in \mathbb{R}\ \forall x \in \mathbb{R}: y \gt x$ ist falsch (es gibt keine Zahl, die größer ist als alle Zahlen).
Beweise: die wichtigsten Techniken
- Direkter Beweis: Aus der Voraussetzung $A$ folgerst Du Schritt für Schritt die Behauptung $B$.
- Beweis durch Kontraposition: Du zeigst $\neg B \Rightarrow \neg A$.
- Widerspruchsbeweis: Du nimmst an, die Behauptung sei falsch, und folgerst daraus etwas Unmögliches – so zeigt man zum Beispiel, dass $\sqrt{2}$ nicht rational ist.
- Vollständige Induktion: für Aussagen über alle natürlichen Zahlen – siehe Vollständige Induktion.
Typische Fehler
- $\in$ und $\subseteq$ verwechseln: $1 \in \{1, 2\}$, aber $\{1\} \subseteq \{1, 2\}$.
- Bei Intervallen die Klammerrichtung vertauschen oder bei $\infty$ eine geschlossene Klammer setzen.
- „oder“ als „entweder … oder“ lesen.
- Eine Implikation mit ihrer Umkehrung verwechseln.
- „Für alle“ mit „keiner“ verneinen statt mit „es gibt einen, für den nicht …“.
Online üben
Stufe 1: Mengen bilden (Elemente mit ; trennen), Stufe 2: Intervalle, Stufe 3: Aussagenlogik (Antwort wahr oder falsch).
Stufe 2: Intervalle
-
Aufgabe 1
\(I = [-1;\,3[,\ J = ]2;\,6[:\quad 3 \in I \cap J\text{ (ja oder nein)?}\)\(I \cap J = ]2;\,3[:\ \text{nein}\)
-
Aufgabe 2
\(I = [-5;\,1],\ J = ]-3;\,3]:\quad I \cap J\)\(linke Grenze; rechte Grenze\)\(I = [-5;\,1],\ J = ]-3;\,3]:\quad I \cap J = ]-3;\,1]\)
-
Aufgabe 3
\(I = ]-3;\,2],\ J = ]-2;\,6[:\quad I \cap J\)\(linke Grenze; rechte Grenze\)\(I = ]-3;\,2],\ J = ]-2;\,6[:\quad I \cap J = ]-2;\,2]\)
-
Aufgabe 4
\(I = ]0;\,9],\ J = ]5;\,14[:\quad I \cup J\)\(linke Grenze; rechte Grenze\)\(I = ]0;\,9],\ J = ]5;\,14[:\quad I \cup J = ]0;\,14[\)
-
Aufgabe 5
\(I = [2;\,9[,\ J = [3;\,11]:\quad I \cap J\)\(linke Grenze; rechte Grenze\)\(I = [2;\,9[,\ J = [3;\,11]:\quad I \cap J = [3;\,9[\)
-
Aufgabe 6
\(\text{Anzahl der ganzen Zahlen in } [-5;\,0[\)\(-5,\ -4,\ \ldots,\ -1:\ 5\text{ Zahlen}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Mengen, Intervalle und Aussagenlogik
Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Zurück zum Brückenkurs „Fit fürs Studium“.
Weiterlesen: Menge (Mathematik), Aussagenlogik bei Wikipedia