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Kl. 13

Summenzeichen und Produktzeichen

Lange Summen wie $1 + 4 + 9 + 16 + \ldots + 100$ schreibt man in der Hochschulmathematik kurz mit dem Summenzeichen $\sum$ (großes griechisches Sigma). Für Produkte gibt es das Produktzeichen $\prod$ (großes Pi). Wer beide sicher lesen und umformen kann, hat im ersten Semester einen großen Vorteil.

So liest Du das Summenzeichen

\[\sum_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \ldots + a_n\]
  • $k$ heißt Laufindex (auch Summationsindex). Er nimmt nacheinander alle ganzen Zahlen von $m$ bis $n$ an.
  • $m$ ist die untere Grenze, $n$ die obere Grenze.
  • $a_k$ ist der Summand – ein Term, in den Du für $k$ jede Zahl einsetzt.

Beispiel

\[\sum_{k=1}^{5} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55\]
\[\sum_{k=0}^{3} (2k + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\]

Gut zu wissen

  • Die Summe hat $n - m + 1$ Summanden. $\sum_{k=3}^{10}$ hat also $10 - 3 + 1 = 8$ Summanden – nicht 7!
  • Der Name des Laufindex ist egal: $\sum_{k=1}^{5} k^2 = \sum_{i=1}^{5} i^2$. Außerhalb der Summe hat $k$ keine Bedeutung.
  • Ist die obere Grenze kleiner als die untere, ist die Summe leer und hat nach Vereinbarung den Wert 0.

Rechenregeln

Weil eine Summe mit $\sum$ nur eine Abkürzung für eine gewöhnliche (endliche) Summe ist, gelten die bekannten Rechengesetze. Für alle $n \ge m$ gilt:

Merke

\[\sum_{k=m}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=m}^{n} a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k \qquad\qquad \sum_{k=m}^{n} c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=m}^{n} a_k\]
\[\sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c \qquad\qquad \sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=m}^{p} a_k + \sum_{k=p+1}^{n} a_k \quad (m \le p \lt n)\]

Beispiel: Zerlegen statt einzeln addieren

\[\sum_{k=1}^{10} (3k + 2) = 3 \cdot \sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 2 = 3 \cdot 55 + 10 \cdot 2 = 185\]

Achtung

  • $\sum_{k=1}^{n} c$ ist $n \cdot c$, nicht $c$: Die Konstante wird $n$-mal addiert.
  • Produkte und Potenzen darfst Du nicht aufteilen: $\sum a_k b_k \neq \left(\sum a_k\right) \cdot \left(\sum b_k\right)$ und $\sum a_k^2 \neq \left(\sum a_k\right)^2$. Gegenbeispiel: $1^2 + 2^2 = 5$, aber $(1 + 2)^2 = 9$.

Indexverschiebung

Oft ist eine Summe einfacher, wenn der Laufindex woanders beginnt. Ersetzt Du $k$ durch $j = k + c$, verschieben sich beide Grenzen um $c$, und im Summanden steht $j - c$ statt $k$:

\[\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{j=m+c}^{n+c} a_{j-c}\]

Beispiel

In $\sum_{k=3}^{7} (k - 2)^2$ setzt Du $j = k - 2$. Aus $k = 3$ wird $j = 1$, aus $k = 7$ wird $j = 5$:

\[\sum_{k=3}^{7} (k - 2)^2 = \sum_{j=1}^{5} j^2 = 55\]

Probe: Die Summanden sind in beiden Fällen $1, 4, 9, 16, 25$.

Tipp

Grenzen und Summand verschieben sich immer gegenläufig: Werden die Grenzen um 2 größer, muss im Summanden 2 abgezogen werden. Kontrolliere mit dem ersten Summanden – der muss vorher und nachher gleich sein.

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Die wichtigsten Summenformeln

Summenformeln

Für alle natürlichen Zahlen $n \ge 1$ gilt:

\[\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \qquad\qquad \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2\]
\[\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \qquad\qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\]
\[\text{geometrische Summe:}\quad \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1} \quad (q \neq 1)\]

Warum stimmt die Gaußsche Summenformel? Schreib die Summe einmal vorwärts und einmal rückwärts untereinander:

\[\begin{aligned} S &= 1 + 2 + \ldots + (n-1) + n\\ S &= n + (n-1) + \ldots + 2 + 1\\ 2S &= (n+1) + (n+1) + \ldots + (n+1) = n \cdot (n+1) \end{aligned}\]

Also ist $S = \frac{n(n+1)}{2}$, zum Beispiel $\sum_{k=1}^{100} k = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$.

Und die geometrische Summe? Multipliziere $S = 1 + q + q^2 + \ldots + q^n$ mit $q$ und ziehe $S$ ab: Fast alles hebt sich weg, und es bleibt $qS - S = q^{n+1} - 1$. Für $q \neq 1$ darfst Du durch $q - 1$ teilen. Beispiel: $\sum_{k=0}^{9} 2^k = \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1023$. Achtung: Die Summe von $k = 0$ bis $n$ hat $n + 1$ Summanden – daher der Exponent $n + 1$.

Die anderen Formeln beweist man am besten mit vollständiger Induktion. Arithmetische und geometrische Folgen und unendliche Reihen findest Du unter Folgen und Reihen.

Teleskopsummen

Wenn sich jeder Summand als Differenz $b_{k+1} - b_k$ schreiben lässt, heben sich fast alle Glieder gegenseitig auf – wie bei einem zusammengeschobenen Teleskop:

\[\sum_{k=1}^{n} (b_{k+1} - b_k) = b_{n+1} - b_1\]

Beispiel

Wegen $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ gilt

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\\ &= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \end{aligned}\]

Die Zerlegung in $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ ist eine einfache Partialbruchzerlegung.

Doppelsummen

Steht ein Summenzeichen in einem anderen, rechnest Du von innen nach außen. Bei endlichen Summen darfst Du die Reihenfolge vertauschen:

\[\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} i \cdot j = \sum_{i=1}^{2} i \cdot (1 + 2 + 3) = 6 \cdot (1 + 2) = 18\]

Das Produktzeichen

Das Produktzeichen funktioniert genauso – nur wird multipliziert:

\[\prod_{k=m}^{n} a_k = a_m \cdot a_{m+1} \cdot \ldots \cdot a_n \qquad\text{z. B.}\qquad n! = \prod_{k=1}^{n} k, \quad \prod_{k=1}^{4} k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\]
  • Ein konstanter Faktor kommt $n$-mal vor: $\prod_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c^n \cdot \prod_{k=1}^{n} a_k$.
  • $\prod (a_k \cdot b_k) = \prod a_k \cdot \prod b_k$.
  • Das leere Produkt hat den Wert 1 – deshalb ist $0! = 1$.
  • Der Logarithmus macht aus einem Produkt eine Summe: $\ln \prod_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \ln a_k$ (für $a_k > 0$).

Typische Fehler

  • Die Anzahl der Summanden falsch zählen: Von $k = 0$ bis $n$ sind es $n + 1$ Summanden.
  • Bei der Indexverschiebung nur die Grenzen ändern und den Summanden vergessen (oder umgekehrt).
  • Die Formel für die geometrische Summe mit dem falschen Startindex verwenden: $\sum_{k=1}^{n} q^k = q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$.
  • Den Laufindex nach der Summe weiterverwenden – er existiert nur innerhalb des Summenzeichens.

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Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 3: Teilsummen, Rechenregeln und Indexverschiebung

  1. Aufgabe 1
    \(\sum_{k=4}^{8} (k - 2)^{2} = \sum_{j=\square}^{\square} j^{2}\)
    \(untere Grenze; obere Grenze\)
    \(j = k - 2:\ \sum_{j=2}^{6} j^{2}\)
  2. Aufgabe 2
    \(\sum_{k=1}^{9} a_k = 55:\quad \sum_{k=1}^{9} (4a_k - 3)\)
    \(\sum_{k=1}^{9} a_k = 55:\quad \sum_{k=1}^{9} (4a_k - 3) = 4 \cdot 55 + 9 \cdot (-3) = 193\)
  3. Aufgabe 3
    \(\sum_{k=1}^{9} a_k = -24:\quad \sum_{k=1}^{9} (-3a_k + 3)\)
    \(\sum_{k=1}^{9} a_k = -24:\quad \sum_{k=1}^{9} (-3a_k + 3) = -3 \cdot (-24) + 9 \cdot 3 = 99\)
  4. Aufgabe 4
    \(\sum_{k=2}^{9} (k + 1)^{2} = \sum_{j=\square}^{\square} j^{2}\)
    \(untere Grenze; obere Grenze\)
    \(j = k + 1:\ \sum_{j=3}^{10} j^{2}\)
  5. Aufgabe 5
    \(\sum_{k=29}^{66} k\)
    \(\sum_{k=29}^{66} k = \sum_{k=1}^{66} k - \sum_{k=1}^{28} k = 2211 - 406 = 1805\)
  6. Aufgabe 6
    \(\text{Anzahl der Summanden von } \sum_{k=1}^{16} a_k\)
    \(16 - 1 + 1 = 16\text{ Summanden}\)

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Summen- und Produktzeichen

Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.

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Weiterlesen: Summe bei Wikipedia

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