Gleichungen und Ungleichungen mit Betrag
Betragsstriche tauchen im Studium ständig auf – bei Abständen, Fehlerabschätzungen und Grenzwerten. Mit zwei Werkzeugen löst Du fast jede Aufgabe: der Abstandsvorstellung und der Fallunterscheidung. Die Grundlagen zu Ungleichungen findest Du unter Ungleichungen lösen.
Was der Betrag bedeutet
Definition
$|x|$ ist der Abstand der Zahl $x$ von 0 auf dem Zahlenstrahl, und $|x - a|$ ist der Abstand von $x$ zur Zahl $a$. Ein Betrag ist nie negativ.
Beispiele: $|5| = 5$, $|-3| = 3$, $|0| = 0$. Wichtige Regeln: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$, $\sqrt{x^2} = |x|$ und die Dreiecksungleichung $|a + b| \le |a| + |b|$.
Betragsgleichungen: $|T| = c$
Merke
- $c \gt 0$: zwei Fälle, $T = c$ oder $T = -c$.
- $c = 0$: nur $T = 0$.
- $c \lt 0$: keine Lösung, denn ein Betrag ist nie negativ.
Beispiel
$|2x - 4| = 6$: Entweder $2x - 4 = 6$, also $x = 5$, oder $2x - 4 = -6$, also $x = -1$. Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{-1;\ 5\}$.
Mit Abstand gedacht: $|2x - 4| = 2\,|x - 2| = 6$ heißt $|x - 2| = 3$ – gesucht sind die Zahlen mit Abstand 3 von 2.
Betragsungleichungen: $|T| \lt c$ und $|T| \gt c$
Merke
Für eine positive Zahl $c \gt 0$ gilt:
„Kleiner“ ergibt ein Intervall zwischen zwei Grenzen, „größer“ zwei Bereiche außerhalb. Bei $\le$ und $\ge$ gehören die Grenzen dazu.
Beispiel 1
$|x - 3| \lt 2$ bedeutet: Der Abstand von $x$ zu 3 ist kleiner als 2. Also $1 \lt x \lt 5$ und $\mathbb{L} = \,]1;\,5[$.
Beispiel 2
$|2x + 1| \ge 5$: $\ 2x + 1 \le -5$ oder $2x + 1 \ge 5$, also $x \le -3$ oder $x \ge 2$. Die Lösungsmenge besteht aus zwei Teilen: $\mathbb{L} = \,]-\infty;\,-3] \cup [2;\,\infty[$.
Sonderfälle
$|T| \lt c$ mit $c \le 0$ hat keine Lösung, und $|T| \gt c$ mit $c \lt 0$ gilt für alle $x$, für die $T$ definiert ist.
Die Fallunterscheidung
Steht auf der anderen Seite keine Zahl, sondern ein Term mit $x$, hilft die Abstandsvorstellung oft nicht weiter. Dann löst Du den Betrag nach seiner Definition auf:
- Bestimme, wo der Term im Betrag null wird.
- Teile die Zahlengerade an dieser Stelle in Fälle: Term $\ge 0$ (Betragsstriche weglassen) und Term $\lt 0$ (Betragsstriche durch Klammer mit Minus ersetzen).
- Löse in jedem Fall und schneide das Ergebnis mit der Bedingung des Falls.
- Die Lösungsmenge ist die Vereinigung der Ergebnisse aller Fälle.
Beispiel mit Fallunterscheidung
Gesucht sind alle $x$ mit $|x - 1| \lt 2x + 4$. Der Betragsinhalt $x - 1$ wird bei $x = 1$ null.
Fall 1: $x \ge 1$. Dann ist $|x - 1| = x - 1$ und $x - 1 \lt 2x + 4 \Leftrightarrow x \gt -5$. Zusammen mit $x \ge 1$: $\ x \ge 1$.
Fall 2: $x \lt 1$. Dann ist $|x - 1| = -(x - 1)$ und $-x + 1 \lt 2x + 4 \Leftrightarrow x \gt -1$. Zusammen mit $x \lt 1$: $\ -1 \lt x \lt 1$.
Vereinigung: $\mathbb{L} = \,]-1;\,1[\, \cup [1;\,\infty[\ = \,]-1;\,\infty[$. Probe mit $x = -1$: $|-2| = 2 \lt 2$ ist falsch – die Grenze gehört zu Recht nicht dazu.
Beispiel: Fallbedingung und Probe
Gesucht sind alle Lösungen von $|x - 4| = 2x + 1$.
Fall $x \ge 4$: $x - 4 = 2x + 1 \Rightarrow x = -5$. Aber $-5 \ge 4$ ist falsch – keine Lösung aus diesem Fall.
Fall $x \lt 4$: $-(x - 4) = 2x + 1 \Rightarrow x = 1$. Passt zu $x \lt 4$.
Also $\mathbb{L} = \{1\}$. Probe: $|1 - 4| = 3 = 2 \cdot 1 + 1$ ✓. Wer die Fallbedingung vergisst, erhält die falsche „Lösung“ $x = -5$: $|-9| = 9$, aber $2 \cdot (-5) + 1 = -9$.
Zwei Beträge
Bei zwei Beträgen gibt es zwei Nullstellen und damit drei Fälle. Beispiel: $|x - 1| + |x + 2| = 5$ mit den Nullstellen $-2$ und $1$:
| Fall | Gleichung ohne Beträge | Ergebnis |
|---|---|---|
| $x \lt -2$ | $-(x - 1) - (x + 2) = 5 \Leftrightarrow -2x - 1 = 5$ | $x = -3$ ✓ (liegt im Fall) |
| $-2 \le x \lt 1$ | $-(x - 1) + (x + 2) = 5 \Leftrightarrow 3 = 5$ | keine Lösung |
| $x \ge 1$ | $(x - 1) + (x + 2) = 5 \Leftrightarrow 2x + 1 = 5$ | $x = 2$ ✓ |
Also $\mathbb{L} = \{-3;\ 2\}$. Mit Abstand gedacht: Gesucht sind die Punkte, deren Abstände zu $1$ und zu $-2$ zusammen 5 ergeben. Zwischen $-2$ und $1$ ist die Summe immer 3 – erst außerhalb wird sie größer.
Auch $|x - a| \lt |x - b|$ löst Du am schnellsten mit Abständen: $x$ liegt näher an $a$ als an $b$, also auf der Seite von $a$ vor der Mitte $\frac{a + b}{2}$. Beispiel: $|x - 5| \lt |x + 1|$ gilt genau für $x \gt 2$.
Typische Fehler
- Bei $|T| = c$ nur den positiven Fall rechnen und $T = -c$ vergessen.
- Bei $|T| \lt c$ zwei getrennte Bereiche angeben – richtig ist ein zusammenhängendes Intervall.
- Im Fall „Term $\lt 0$“ das Minus nur vor den ersten Summanden schreiben: Aus $|x - 4|$ wird $-(x - 4) = -x + 4$, nicht $-x - 4$.
- Das Ergebnis eines Falls nicht mit der Fallbedingung schneiden – oder bei Gleichungen die Probe vergessen.
Online üben
Lösungsmengen gibst Du mit ; getrennt ein (keine, wenn es keine Lösung gibt). Bei Ungleichungen der Stufe 2 trägst Du die beiden Grenzen ein, die kleinere zuerst – ob die Lösung dazwischen oder außerhalb liegt, steht in der Lösung.
Stufe 3: zwei Beträge, Fallunterscheidung
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Aufgabe 1
\(\left|x - 2\right| + \left|x - 5\right| = 11\)\(x_1 = -2,\ x_2 = 9\)
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Aufgabe 2
\(\left|2x - 7\right| = x - 2\)\(x_1 = 3,\ x_2 = 5\)
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Aufgabe 3
\(\left|x + 1\right| + \left|x - 5\right| = 10\)\(x_1 = -3,\ x_2 = 7\)
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Aufgabe 4
\(\left|x - 1\right| < \left|x + 5\right|\)\(x > -2\)
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Aufgabe 5
\(\left|x + 1\right| + \left|x - 2\right| = 7\)\(x_1 = -3,\ x_2 = 4\)
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Aufgabe 6
\(\left|x + 2\right| + \left|x - 4\right| = 14\)\(x_1 = -6,\ x_2 = 8\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gleichungen und Ungleichungen mit Betrag
Bis zu 12 Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
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Weiterlesen: Betragsfunktion bei Wikipedia