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ggT- und kgV-Rechner

Gib zwei bis vier Zahlen ein. Der Rechner bestimmt den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) – mit Primfaktorzerlegung und euklidischem Algorithmus.

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Beispiele: 84 und 120 12, 18 und 30 35 und 64 4, 6, 8 und 10

Ergebnis

Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches:

\[\text{ggT}(12,\ 18) = 6 \qquad \text{kgV}(12,\ 18) = 36\]
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Rechenweg

  1. Primfaktorzerlegung

    Zerlege jede Zahl in Primfaktoren und schreibe gleiche Primzahlen untereinander.

    \[12 = 2^{2} \cdot 3\]
    \[18 = 2 \cdot 3^{2}\]
    Zahl23
    12\(2^{2}\)\(3\)
    18\(2\)\(3^{2}\)
    ggT\(2\)\(3\)
    kgV\(2^{2}\)\(3^{2}\)

  2. ggT: gemeinsame Primfaktoren, kleinster Exponent

    Nimm nur die Primzahlen, die in allen Zahlen vorkommen – jeweils mit dem kleinsten Exponenten.

    \[\text{ggT} = 2 \cdot 3 = 6\]

  3. kgV: alle Primfaktoren, größter Exponent

    Nimm jede Primzahl, die irgendwo vorkommt – jeweils mit dem größten Exponenten.

    \[\text{kgV} = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36\]

  4. Kontrolle mit dem euklidischen Algorithmus

    Teile die größere durch die kleinere Zahl mit Rest. Dann teilst Du den Divisor durch den Rest – so lange, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT.

    18= 1 · 12+ 6
    12= 2 · 6+ 0

  5. Probe

    Für zwei Zahlen gilt immer: ggT mal kgV = Produkt der beiden Zahlen.

    \[6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18\]

Wofür brauche ich ggT und kgV?

  • Mit dem ggT kürzt Du einen Bruch in einem Schritt vollständig: $\frac{84}{120} = \frac{84 : 12}{120 : 12} = \frac{7}{10}$.
  • Das kgV der Nenner ist der Hauptnenner beim Addieren von Brüchen.

Alle Methoden mit Beispielen und Sachaufgaben findest Du bei ggT und kgV einfach erklärt.

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