Abitur-Aufgaben online üben
Im Abitur bekommst Du selten eine nackte Rechenaufgabe. Meistens steht zuerst ein Text: ein Ball fliegt, Wasser läuft in ein Becken, eine Firma testet ihre Bauteile. Danach kommen mehrere Teilaufgaben, die aufeinander aufbauen. Genau so sind die Aufgaben auf dieser Seite gebaut – mit Punkten wie in der Prüfung, Tipp, Lösungsweg und immer wieder neuen Zahlen.
So gehst Du an eine Abitur-Aufgabe heran
- Text zweimal lesen. Beim ersten Mal verstehst Du die Situation. Beim zweiten Mal markierst Du alles, was gegeben ist: Funktionen, Zahlen, Einheiten.
- In Mathe übersetzen. Frag Dich bei jeder Teilaufgabe: Suche ich einen Funktionswert, einen Hoch- oder Tiefpunkt, eine Nullstelle, eine Fläche, eine Wahrscheinlichkeit oder einen Abstand? Typische Signalwörter: „am höchsten“ → Hochpunkt, „am stärksten“ → Wendepunkt, „insgesamt“ → Integral, „mindestens einmal“ → Gegenereignis.
- Rechnen – mit Rechenweg. In der echten Prüfung gibt es für den Weg Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt.
- Antwortsatz mit Einheit. „Der Ball ist nach 1,5 Sekunden am höchsten.“ – so zeigst Du, dass Du das Ergebnis im Sachzusammenhang verstanden hast.
Die wichtigsten Arbeitsanweisungen (Operatoren)
- Berechne / Bestimme: Ergebnis mit Rechenweg. Bei „bestimme“ darfst Du auch den Taschenrechner nutzen, wenn er erlaubt ist.
- Gib an: nur das Ergebnis, ohne Begründung.
- Zeige / Weise nach: Das Ergebnis steht schon da – Du musst sauber herleiten, dass es stimmt.
- Begründe / Beurteile: mit Worten (und Rechnung) erklären, warum etwas so ist.
- Interpretiere: Was bedeutet die Zahl in der Situation? Zum Beispiel: „Nach 4 Minuten fließt am meisten Wasser zu.“
Analysis
Kurvendiskussion wie im hilfsmittelfreien Teil, e-Funktion mit Fläche, Flugbahnen, Wachstum und Abkühlung. Wähle oben eine Aufgabe aus oder lass Dir mit „Neue Zahlen“ eine neue Version geben.
Wasser im Becken · 10 Punkte wie in der Prüfung
In ein leeres Becken läuft Wasser. Die Zuflussrate in Litern pro Minute beträgt r(t) = 2 · t · (12 − t) für 0 ≤ t ≤ 12 (t in Minuten). Danach wird der Zufluss geschlossen.
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Teilaufgabe a) · 2 P.
\(\text{Wie groß ist die Zuflussrate nach 1 Minuten?}\)l/min\(r(1) = 22\,\tfrac{\text{l}}{\text{min}}\)
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Teilaufgabe b) · 3 P.
\(\text{Zu welchem Zeitpunkt fließt am meisten Wasser zu?}\)min\(r'(t) = 2 \cdot (12 - 2t) = 0 \;\Rightarrow\; t = 6\,\text{min}\)
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Teilaufgabe c) · 2 P.
\(\text{Wie groß ist die größte Zuflussrate?}\)l/min\(r(6) = 72\,\tfrac{\text{l}}{\text{min}}\)
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Teilaufgabe d) · 3 P.
\(\text{Wie viele Liter sind nach 12 Minuten im Becken?}\)l\(\int_{0}^{12} r(t)\,dt = 2 \cdot \left[12\tfrac{t^2}{2} - \tfrac{t^3}{3}\right]_0^{12} = 576\,\text{l}\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Stochastik
Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung und Hypothesentests – rechts- und linksseitig, mit Fehler 1. und 2. Art.
Hypothesentest: Fehlerhafte Teile · 10 Punkte wie in der Prüfung
Ein Hersteller behauptet: Höchstens 5 % seiner Bauteile sind fehlerhaft. Ein Kunde prüft 50 zufällig ausgewählte Teile. X ist die Anzahl der fehlerhaften Teile. Getestet wird die Nullhypothese H₀: p ≤ 0,05 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Findet der Kunde auffällig viele fehlerhafte Teile, glaubt er dem Hersteller nicht mehr (H₀ wird abgelehnt).
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Teilaufgabe a) · 2 P.
\(\text{Wie viele fehlerhafte Teile erwartet man, wenn der Hersteller recht hat?}\)\(E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}05 = 2{,}5\)
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Teilaufgabe b) · 2 P.
\(\text{Berechne die Standardabweichung } \sigma \text{ (2 Stellen).}\)\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{2{,}38} \approx 1{,}54\)
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Teilaufgabe c) · 4 P.
\(\text{Ab wie vielen fehlerhaften Teilen wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)\(P(X \geq 5) \approx 0{,}1036 > 0{,}05,\quad P(X \geq 6) \approx 0{,}0378 \leq 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{6, \dots, 50\}\)
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Teilaufgabe d) · 2 P.
\(\text{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? (4 Stellen)}\)\(\alpha = P(X \geq 6) \approx 0{,}0378\quad\text{(H}_0\text{ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt)}\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Analytische Geometrie
Bewegungen im Raum, Ebenen, Winkel und Abstände – so wie sie im Abitur gern mit Flugzeugen, Dächern und Zelten verpackt werden.
Zelt in Pyramidenform · 10 Punkte wie in der Prüfung
Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischem Boden ABCD und Spitze S: A(0|0|0), B(4|0|0), C(4|4|0), D(0|4|0) und S(2|2|4). Eine Längeneinheit ist 1 m.
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Teilaufgabe a) · 3 P.
\(\text{Wie lang ist die Kante } \overline{AS}\text{? (auf 2 Stellen runden)}\)m\(|\overrightarrow{AS}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{24} \approx 4{,}9\,\text{m}\)
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Teilaufgabe b) · 2 P.
\(\text{Wie groß ist das Volumen des Zelts?}\)m³\(V = \tfrac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 4 = 21{,}33\,\text{m}^3\)
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Teilaufgabe c) · 3 P.
\(\text{Neigungswinkel der Kante } AS \text{ gegen den Boden (auf 2 Stellen runden)}\)°\(\sin\alpha = \frac{4}{\sqrt{24}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 54{,}74^\circ\)
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Teilaufgabe d) · 2 P.
\(\text{Mittelpunkt } M \text{ der Kante } BS\)\(M\left(\tfrac{4 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 4}{2}\right) = M(3 \mid 1 \mid 2)\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Als Prüfung mit Zeit und Note
Wenn Du die Aufgaben sicher kannst, probiere sie unter Prüfungsbedingungen: Die Probe-Klausur „Abitur: Anwendungsaufgaben“ mischt je eine Aufgabe aus Analysis, Stochastik und Geometrie – mit 60 Minuten Zeit und Notenpunkten am Ende. Alle weiteren Probe-Klausuren findest Du unter Klassenarbeit & Abitur, die passenden Formeln in der Formelsammlung.