Abitur: Anwendungsaufgaben
Klasse 12–13 · Drei Aufgaben mit Text aus dem Alltag – je eine aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Ideal, um das Übersetzen in Mathe zu üben.
- 12 Aufgaben
- 30 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Analysis (10 P.)
Ein Federball wird geschlagen. Seine Flugbahn beschreibt h(x) = −0,05x² + 0,3x + 1,5. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Abschlagpunkt und h(x) die Höhe über dem Boden (beides in Metern). Das Netz ist 1,55 m hoch und steht bei x = 5. Tipp: Der Auftreffwinkel ist der Winkel zwischen Flugbahn und Boden. Du bekommst ihn über die Steigung: tan(α) = |h′(x)|.
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3 P.
\(\text{Höchster Punkt der Flugbahn (x und Höhe)}\)Lösung: \(h'(x) = -0{,}1x + 0{,}3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3,\quad h(3) = 1{,}95 \;\Rightarrow\; (3 \mid 1{,}95)\)
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2 P.
\(\text{Wie hoch fliegt der Ball über das Netz hinweg? (in m, 2 Stellen)}\)mLösung: \(h(5) - 1{,}55 = 1{,}75 - 1{,}55 = 0{,}2\)
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3 P.
\(\text{In welcher Entfernung trifft der Ball auf den Boden? (2 Stellen)}\)mLösung: \(h(x) = 0 \;\Rightarrow\; x \approx 9{,}24\,\text{m}\quad (\text{die negative Lösung passt nicht})\)
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2 P.
\(\text{Unter welchem Winkel trifft der Ball auf? (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\tan\alpha = |h'(9{,}24)| \approx 0{,}624 \;\Rightarrow\; \alpha \approx 31{,}98^\circ\)
Aufgabe 2: Stochastik (10 P.)
Ein Hersteller behauptet: Höchstens 20 % seiner Bauteile sind fehlerhaft. Ein Kunde prüft 100 zufällig ausgewählte Teile. X ist die Anzahl der fehlerhaften Teile. Getestet wird die Nullhypothese H₀: p ≤ 0,2 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Findet der Kunde auffällig viele fehlerhafte Teile, glaubt er dem Hersteller nicht mehr (H₀ wird abgelehnt). Tipp: Rechne mit p = 0,2 und suche das kleinste k, für das P(X ≥ k) höchstens 0,05 ist.
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2 P.
\(\text{Wie viele fehlerhafte Teile erwartet man, wenn der Hersteller recht hat?}\)Lösung: \(E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}2 = 20\)
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2 P.
\(\text{Berechne die Standardabweichung } \sigma \text{ (2 Stellen).}\)Lösung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{16} \approx 4\)
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4 P.
\(\text{Ab wie vielen fehlerhaften Teilen wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \geq 27) \approx 0{,}0558 > 0{,}05,\quad P(X \geq 28) \approx 0{,}0342 \leq 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{28, \dots, 100\}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \geq 28) \approx 0{,}0342\quad\text{(H}_0\text{ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt)}\)
Aufgabe 3: Geometrie (10 P.)
Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischem Boden ABCD und Spitze S: A(0|0|0), B(6|0|0), C(6|6|0), D(0|6|0) und S(3|3|4). Eine Längeneinheit ist 1 m. Tipp: Eine Kante ist ein Vektor – ihre Länge ist sein Betrag.
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3 P.
\(\text{Wie lang ist die Kante } \overline{AS}\text{? (auf 2 Stellen runden)}\)mLösung: \(|\overrightarrow{AS}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\,\text{m}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist das Volumen des Zelts?}\)m³Lösung: \(V = \tfrac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 4 = 48\,\text{m}^3\)
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3 P.
\(\text{Neigungswinkel der Kante } AS \text{ gegen den Boden (auf 2 Stellen runden)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{4}{\sqrt{34}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 43{,}31^\circ\)
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2 P.
\(\text{Mittelpunkt } M \text{ der Kante } BS\)Lösung: \(M\left(\tfrac{6 + 3}{2} \mid \tfrac{0 + 3}{2} \mid \tfrac{0 + 4}{2}\right) = M(4{,}5 \mid 1{,}5 \mid 2)\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.