Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 20 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = \frac{2}{x^{2}} + 2x^{4}\)Lösung: \(f'(x) = -\frac{4}{x^{3}} + 8x^{3}\)
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\(f(x) = -\frac{4}{5}x^{3} - \sqrt{x}\)Lösung: \(f'(x) = -\frac{12}{5}x^{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{0}^{2} \left(4x^{2} - 4x - 3\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{2} \left(4x^{2} - 4x - 3\right) dx = -\frac{10}{3}\)
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\(\int_{0}^{1} \left(4x^{2}\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{1} \left(4x^{2}\right) dx = \frac{4}{3}\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } P_1\left(-2 \,\middle|\, 6\right),\ P_2\left(2 \,\middle|\, -2\right),\ P_3\left(3 \,\middle|\, 1\right)\)Lösung: \(f(x) = x^{2} - 2x - 2\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \le -1{,}92)\)Lösung: \(P(Z \le -1{,}92) = \Phi(-1{,}92) \approx 0{,}0274\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((-3 \mid -4 \mid -3) \cdot (1 \mid -6 \mid -2)\)Lösung: \((-3 \mid -4 \mid -3) \cdot (1 \mid -6 \mid -2) = 27\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
Ein Federball wird geschlagen. Seine Flugbahn beschreibt h(x) = −0,04x² + 0,24x + 2. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Abschlagpunkt und h(x) die Höhe über dem Boden (beides in Metern). Das Netz ist 1,55 m hoch und steht bei x = 4. Tipp: Der Auftreffwinkel ist der Winkel zwischen Flugbahn und Boden. Du bekommst ihn über die Steigung: tan(α) = |h′(x)|.
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3 P.
\(\text{Höchster Punkt der Flugbahn (x und Höhe)}\)Lösung: \(h'(x) = -0{,}08x + 0{,}24 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3,\quad h(3) = 2{,}36 \;\Rightarrow\; (3 \mid 2{,}36)\)
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2 P.
\(\text{Wie hoch fliegt der Ball über das Netz hinweg? (in m, 2 Stellen)}\)mLösung: \(h(4) - 1{,}55 = 2{,}32 - 1{,}55 = 0{,}77\)
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3 P.
\(\text{In welcher Entfernung trifft der Ball auf den Boden? (2 Stellen)}\)mLösung: \(h(x) = 0 \;\Rightarrow\; x \approx 10{,}68\,\text{m}\quad (\text{die negative Lösung passt nicht})\)
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2 P.
\(\text{Unter welchem Winkel trifft der Ball auf? (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\tan\alpha = |h'(10{,}68)| \approx 0{,}614 \;\Rightarrow\; \alpha \approx 31{,}57^\circ\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
Ein Hersteller behauptet: Höchstens 10 % seiner Bauteile sind fehlerhaft. Ein Kunde prüft 100 zufällig ausgewählte Teile. X ist die Anzahl der fehlerhaften Teile. Getestet wird die Nullhypothese H₀: p ≤ 0,1 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Findet der Kunde auffällig viele fehlerhafte Teile, glaubt er dem Hersteller nicht mehr (H₀ wird abgelehnt). Tipp: Rechne mit p = 0,1 und suche das kleinste k, für das P(X ≥ k) höchstens 0,05 ist.
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2 P.
\(\text{Wie viele fehlerhafte Teile erwartet man, wenn der Hersteller recht hat?}\)Lösung: \(E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}1 = 10\)
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2 P.
\(\text{Berechne die Standardabweichung } \sigma \text{ (2 Stellen).}\)Lösung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{9} \approx 3\)
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4 P.
\(\text{Ab wie vielen fehlerhaften Teilen wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \geq 15) \approx 0{,}0726 > 0{,}05,\quad P(X \geq 16) \approx 0{,}0399 \leq 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{16, \dots, 100\}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \geq 16) \approx 0{,}0399\quad\text{(H}_0\text{ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt)}\)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Die Position eines Flugzeugs F₁ nach t Minuten ist (0|0|1) + t · (4|8|1), die von Flugzeug F₂ ist (43|-10|9) + t · (-6|8|0). Alle Angaben in km, die x₃-Achse zeigt nach oben. Tipp: Die Länge des Richtungsvektors ist die Strecke pro Minute. Den kleinsten Abstand findest Du, indem Du den Abstand d(t) der beiden Positionen aufstellst und das Minimum von d(t)² suchst.
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2 P.
\(\text{Geschwindigkeit von } F_1 \text{ in km/h}\)km/hLösung: \(|\vec{u}| = \sqrt{16 + 64 + 1} = 9\,\tfrac{\text{km}}{\text{min}} \;\Rightarrow\; 540\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
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2 P.
\(\text{Steigungswinkel von } F_1 \text{ gegenüber dem Boden (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{1}{9} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 6{,}38^\circ\)
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2 P.
\(\text{Wo ist } F_1 \text{ nach 5 Minuten?}\)Lösung: \((0|0|1) + 5 \cdot (4|8|1) = (20|40|6)\)
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2 P.
\(\text{Nach wie vielen Minuten sind sich die Flugzeuge am nächsten? (2 Stellen)}\)minLösung: \(d(t)^2 = |(-43|10|-8) + t \cdot (10|0|1)|^2 \text{ minimal} \;\Rightarrow\; t = 4{,}34\,\text{min}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist dieser kleinste Abstand? (in km, 2 Stellen)}\)kmLösung: \(d(4{,}34) \approx 10{,}66\,\text{km}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.