Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 20 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{5}x^{3}\)Lösung: \(f'(x) = -\frac{10}{x^{3}} - \frac{6}{5}x^{2}\)
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\(f(x) = -2\sqrt{x} + \frac{1}{2}x^{2}\)Lösung: \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}} + x\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{1}^{2} \left(-3x^{2} - 4x\right) dx\)Lösung: \(\int_{1}^{2} \left(-3x^{2} - 4x\right) dx = -13\)
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\(\int_{2}^{4} \left(-5x + 2\right) dx\)Lösung: \(\int_{2}^{4} \left(-5x + 2\right) dx = -26\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } P_1\left(0 \,\middle|\, 1\right),\ P_2\left(1 \,\middle|\, -1\right),\ P_3\left(3 \,\middle|\, 7\right)\)Lösung: \(f(x) = 2x^{2} - 4x + 1\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \le -2{,}01)\)Lösung: \(P(Z \le -2{,}01) = \Phi(-2{,}01) \approx 0{,}0222\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((5 \mid 6 \mid -3) \cdot (2 \mid -6 \mid 6)\)Lösung: \((5 \mid 6 \mid -3) \cdot (2 \mid -6 \mid 6) = -44\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
Ein Patient nimmt eine Tablette. Die Konzentration des Wirkstoffs im Blut (in mg pro Liter) beschreibt f(t) = 8 · t · e^(−0,5t), t in Stunden nach der Einnahme. Die Ableitung ist f′(t) = 8 · e^(−0,5t) · (1 − 0,5t). Tipp: Wo die Konzentration am stärksten abnimmt, hat der Graph seinen Wendepunkt (f″(t) = 0).
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2 P.
\(\text{Konzentration nach 1 Stunde (auf 2 Stellen runden)}\)mg/lLösung: \(f(1) = 8 \cdot e^{-0{,}5} \approx 4{,}85\,\tfrac{\text{mg}}{\text{l}}\)
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3 P.
\(\text{Nach wie vielen Stunden ist die Konzentration am größten?}\)hLösung: \(f'(t) = 0 \;\Rightarrow\; 1 - 0{,}5t = 0 \;\Rightarrow\; t = 2\,\text{h}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die höchste Konzentration? (auf 2 Stellen runden)}\)mg/lLösung: \(f(2) = 16 \cdot e^{-1} \approx 5{,}89\,\tfrac{\text{mg}}{\text{l}}\)
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3 P.
\(\text{Wann nimmt die Konzentration am stärksten ab?}\)hLösung: \(f''(t) = 8 \cdot e^{-0{,}5t} \cdot (0{,}25t - 1) = 0 \;\Rightarrow\; t = 4\,\text{h}\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
Die Bürgermeisterin behauptet: Mindestens 70 % der Bürger sind für den neuen Radweg. Eine Zeitung befragt 50 zufällig ausgewählte Bürger. X ist die Anzahl der Befürworter. Getestet wird H₀: p ≥ 0,7 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Sind es auffällig wenige Befürworter, wird H₀ abgelehnt. Tipp: Rechne mit p = 0,7 und suche das größte k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05. Beim Fehler 2. Art behält man H₀, obwohl sie falsch ist.
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1 P.
\(\text{Erwartungswert von X, wenn die Bürgermeisterin genau recht hat}\)Lösung: \(E(X) = 50 \cdot 0{,}7 = 35\)
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4 P.
\(\text{Bis zu wie vielen Befürwortern wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \leq 29) \approx 0{,}0478 \leq 0{,}05,\quad P(X \leq 30) \approx 0{,}0848 > 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{0, \dots, 29\}\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \leq 29) \approx 0{,}0478\)
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3 P.
\(\text{In Wahrheit sind nur 60\,\% dafür. Wie groß ist der Fehler 2. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\beta = P_{p = 0{,}6}(X \geq 30) = 1 - P(X \leq 29) \approx 0{,}561\)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Die Position eines Flugzeugs F₁ nach t Minuten ist (0|0|3) + t · (9|6|2), die von Flugzeug F₂ ist (37|3|6) + t · (-6|7|0). Alle Angaben in km, die x₃-Achse zeigt nach oben. Tipp: Die Länge des Richtungsvektors ist die Strecke pro Minute. Den kleinsten Abstand findest Du, indem Du den Abstand d(t) der beiden Positionen aufstellst und das Minimum von d(t)² suchst.
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2 P.
\(\text{Geschwindigkeit von } F_1 \text{ in km/h}\)km/hLösung: \(|\vec{u}| = \sqrt{81 + 36 + 4} = 11\,\tfrac{\text{km}}{\text{min}} \;\Rightarrow\; 660\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
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2 P.
\(\text{Steigungswinkel von } F_1 \text{ gegenüber dem Boden (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{2}{11} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 10{,}48^\circ\)
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2 P.
\(\text{Wo ist } F_1 \text{ nach 3 Minuten?}\)Lösung: \((0|0|3) + 3 \cdot (9|6|2) = (27|18|9)\)
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2 P.
\(\text{Nach wie vielen Minuten sind sich die Flugzeuge am nächsten? (2 Stellen)}\)minLösung: \(d(t)^2 = |(-37|-3|-3) + t \cdot (15|-1|2)|^2 \text{ minimal} \;\Rightarrow\; t = 2{,}43\,\text{min}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist dieser kleinste Abstand? (in km, 2 Stellen)}\)kmLösung: \(d(2{,}43) \approx 5{,}77\,\text{km}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.