Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 20 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{5}x^{2}\)Lösung: \(f'(x) = -\frac{4}{x^{3}} - \frac{4}{5}x\)
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\(f(x) = \frac{5}{3}x^{3} + \frac{6}{x^{2}}\)Lösung: \(f'(x) = 5x^{2} - \frac{12}{x^{3}}\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{0}^{1} \left(3x^{2}\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{1} \left(3x^{2}\right) dx = 1\)
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\(\int_{0}^{3} \left(-5x - 4\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{3} \left(-5x - 4\right) dx = -\frac{69}{2}\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } P_1\left(-2 \,\middle|\, 3\right),\ P_2\left(-1 \,\middle|\, 4\right),\ P_3\left(2 \,\middle|\, -5\right)\)Lösung: \(f(x) = -x^{2} - 2x + 3\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \le -0{,}24)\)Lösung: \(P(Z \le -0{,}24) = \Phi(-0{,}24) \approx 0{,}4052\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((1 \mid 4 \mid 0) \cdot (-1 \mid -4 \mid -2)\)Lösung: \((1 \mid 4 \mid 0) \cdot (-1 \mid -4 \mid -2) = -17\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
Ein Patient nimmt eine Tablette. Die Konzentration des Wirkstoffs im Blut (in mg pro Liter) beschreibt f(t) = 4 · t · e^(−0,25t), t in Stunden nach der Einnahme. Die Ableitung ist f′(t) = 4 · e^(−0,25t) · (1 − 0,25t). Tipp: Wo die Konzentration am stärksten abnimmt, hat der Graph seinen Wendepunkt (f″(t) = 0).
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2 P.
\(\text{Konzentration nach 1 Stunde (auf 2 Stellen runden)}\)mg/lLösung: \(f(1) = 4 \cdot e^{-0{,}25} \approx 3{,}12\,\tfrac{\text{mg}}{\text{l}}\)
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3 P.
\(\text{Nach wie vielen Stunden ist die Konzentration am größten?}\)hLösung: \(f'(t) = 0 \;\Rightarrow\; 1 - 0{,}25t = 0 \;\Rightarrow\; t = 4\,\text{h}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die höchste Konzentration? (auf 2 Stellen runden)}\)mg/lLösung: \(f(4) = 16 \cdot e^{-1} \approx 5{,}89\,\tfrac{\text{mg}}{\text{l}}\)
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3 P.
\(\text{Wann nimmt die Konzentration am stärksten ab?}\)hLösung: \(f''(t) = 4 \cdot e^{-0{,}25t} \cdot (0{,}0625t - 0{,}5) = 0 \;\Rightarrow\; t = 8\,\text{h}\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
In einer Stadt fahren 40 % der Berufstätigen mit dem Rad zur Arbeit (Ereignis R). Von den Radfahrern nutzen 35 % ein E-Bike (Ereignis E). Von denen, die nicht mit dem Rad fahren, besitzen trotzdem 10 % ein E-Bike. Eine berufstätige Person wird zufällig ausgewählt. Tipp: Trage alles in eine Vierfeldertafel ein. Die Zeilen- und Spaltensummen helfen bei P(E).
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2 P.
\(P(R \cap E)\)Lösung: \(0{,}4 \cdot 0{,}35 = 0{,}14\)
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2 P.
\(P(E)\)Lösung: \(0{,}14 + 0{,}6 \cdot 0{,}1 = 0{,}2\)
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3 P.
\(\text{Die Person hat ein E-Bike. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fährt sie mit dem Rad zur Arbeit? (3 Stellen)}\)Lösung: \(P_E(R) = \frac{P(R \cap E)}{P(E)} = \frac{0{,}14}{0{,}2} \approx 0{,}7\)
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1 P.
\(P(\overline{R} \cap \overline{E})\)Lösung: \(0{,}6 \cdot 0{,}9 = 0{,}54\)
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2 P.
\(\text{Sind R und E stochastisch unabhängig? (ja/nein)}\)Lösung: \(P(R) \cdot P(E) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08 \neq 0{,}14 = P(R \cap E) \;\Rightarrow\; \text{nein}\)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Ein dreieckiges Sonnensegel ist an den Punkten A(4|0|0), B(0|8|0) und C(0|0|12) befestigt (Angaben in Metern). Der Boden ist die x-y-Ebene, der Ursprung O ist die Hausecke. Tipp: Den Normalenvektor des Segels bekommst Du mit dem Kreuzprodukt AB × AC. Der Winkel zum Boden ist der Winkel zwischen diesem Normalenvektor und der z-Achse.
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3 P.
\(\text{Wie groß ist die Fläche des Segels? (in m}^2\text{, 2 Stellen)}\)m²Lösung: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}96\\48\\32\end{pmatrix},\quad A = \tfrac{1}{2}\sqrt{12544} \approx 56\,\text{m}^2\)
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3 P.
\(\text{Unter welchem Winkel ist das Segel gegen den Boden geneigt? (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\cos\alpha = \frac{32}{\sqrt{12544}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 73{,}4^\circ\)
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2 P.
\(\text{Ein senkrechter Mast steht in } P(1|4|0)\text{. In welchem Punkt trifft er das Segel?}\)Lösung: \(\tfrac{x}{4} + \tfrac{y}{8} + \tfrac{z}{12} = 1 \text{ mit } x = 1,\ y = 4 \;\Rightarrow\; S(1 \mid 4 \mid 3)\)
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2 P.
\(\text{Wie weit ist die Hausecke } O \text{ vom Segel entfernt? (2 Stellen)}\)mLösung: \(d = \frac{|96 \cdot 0 + 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0 - 384|}{\sqrt{12544}} \approx 3{,}43\,\text{m}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.