Probe-Klausur Stochastik
Klasse 12–13 · Kombinatorik, bedingte Wahrscheinlichkeit und Normalverteilung.
- 14 Aufgaben
- 43 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Kombinatorik (je 3 P.)
Überlege jeweils: Ist die Reihenfolge wichtig? Darf etwas mehrfach vorkommen (Zurücklegen)? Gib die Formel und das Ergebnis an.
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\(\text{Auf wie viele Arten kann man 3 Läufer auf die Bahnen verteilen?}\)Lösung: \(3! = 6\)
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\(\text{Wie viele Möglichkeiten gibt es für eine 6-stellige PIN aus den Ziffern 0 bis 9?}\)Lösung: \(10^{6} = 1{.}000{.}000\)
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\(\text{Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Augenzahlen bei 5 Würfen mit einem Würfel?}\)Lösung: \(6^{5} = 7776\)
Aufgabe 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit (je 4 P.)
Lege eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm an und berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. P_A(B) bedeutet: Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A.
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\(P(A) = 0{,}2,\ P_A(B) = 0{,}6,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)Lösung: \(P(B) = 0{,}2 \cdot 0{,}6 + 0{,}8 \cdot 0{,}5 = 0{,}52,\quad P_B(A) = \frac{0{,}12}{0{,}52} \approx 0{,}231\)
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\(P(A) = 0{,}3,\ P_A(B) = 0{,}9,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)Lösung: \(P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}9 + 0{,}7 \cdot 0{,}5 = 0{,}62,\quad P_B(A) = \frac{0{,}27}{0{,}62} \approx 0{,}435\)
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\(P(A) = 0{,}3,\ P_A(B) = 0{,}5,\ P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2:\quad P(B) = \ ?,\ \ P_B(A) = \ ?\)\(P(B); P_B(A)\)Lösung: \(P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}5 + 0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}29,\quad P_B(A) = \frac{0{,}15}{0{,}29} \approx 0{,}517\)
Aufgabe 3: Normalverteilung (je 4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab (Tabelle oder Taschenrechner). Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \ge -2{,}08)\)Lösung: \(P(Z \ge -2{,}08) = 1 - \Phi(-2{,}08) \approx 0{,}9812\)
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\(P(Z \ge 0{,}67)\)Lösung: \(P(Z \ge 0{,}67) = 1 - \Phi(0{,}67) \approx 0{,}2514\)
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\(P(Z \ge 0{,}53)\)Lösung: \(P(Z \ge 0{,}53) = 1 - \Phi(0{,}53) \approx 0{,}2981\)
Aufgabe 4: Anwendungsaufgabe (10 P.)
Eine Anlage füllt Saft in Flaschen. Die Füllmenge X (in ml) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 750 ml und der Standardabweichung σ = 8 ml. Tipp: Standardisiere mit z = (x − μ) : σ und lies Φ(z) in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner ab. Für „mehr als“ rechnest Du 1 − Φ(z). Werte aus der Tabelle dürfen etwas abweichen.
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als } 734\text{ ml enthält (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(X < 734) = \Phi\left(\frac{734 - 750}{8}\right) = \Phi(-2) \approx 0{,}023\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge höchstens } 12\text{ ml von } \mu \text{ abweicht (3 Stellen)}\)Lösung: \(P(738 \leq X \leq 762) = 2\,\Phi(1{,}5) - 1 \approx 0{,}866\)
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2 P.
\(\text{Wie viele von 1000 Flaschen enthalten voraussichtlich weniger als } 734\text{ ml? (ganze Zahl)}\)Lösung: \(1000 \cdot 0{,}0228 \approx 23\)
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2 P.
\(\text{Ab welcher Füllmenge gehört eine Flasche zu den 5\,\% vollsten? (1 Stelle)}\)mlLösung: \(P(X \geq c) = 0{,}05 \;\Rightarrow\; \Phi\left(\frac{c - 750}{8}\right) = 0{,}95 \;\Rightarrow\; \frac{c - 750}{8} \approx 1{,}645 \;\Rightarrow\; c \approx 763{,}2\,\text{ml}\)
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2 P.
\(\text{Auf welchen Wert muss } \sigma \text{ sinken, damit nur 1\,\% der Flaschen weniger als } 734\text{ ml enthalten? (2 Stellen)}\)mlLösung: \(\Phi\left(\frac{-16}{\sigma}\right) = 0{,}01 \;\Rightarrow\; \frac{16}{\sigma} \approx 2{,}326 \;\Rightarrow\; \sigma \approx 6{,}88\,\text{ml}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.
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