Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 19 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = -\frac{3}{2}x^{4} + 4\sqrt{x}\)Lösung: \(f'(x) = -6x^{3} + \frac{2}{\sqrt{x}}\)
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\(f(x) = -\frac{5}{x} + \frac{4}{5}x^{3}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{5}{x^{2}} + \frac{12}{5}x^{2}\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{2}^{4} \left(-6x^{2} - 5x\right) dx\)Lösung: \(\int_{2}^{4} \left(-6x^{2} - 5x\right) dx = -142\)
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\(\int_{2}^{3} \left(x^{2} - 2\right) dx\)Lösung: \(\int_{2}^{3} \left(x^{2} - 2\right) dx = \frac{13}{3}\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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\(\text{Grad 2: } P_1\left(-1 \,\middle|\, 3\right),\ P_2\left(2 \,\middle|\, -6\right),\ P_3\left(3 \,\middle|\, -13\right)\)Lösung: \(f(x) = -x^{2} - 2x + 2\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \ge -2{,}41)\)Lösung: \(P(Z \ge -2{,}41) = 1 - \Phi(-2{,}41) \approx 0{,}992\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((-1 \mid 4 \mid 1) \cdot (4 \mid 4 \mid 6)\)Lösung: \((-1 \mid 4 \mid 1) \cdot (4 \mid 4 \mid 6) = 18\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
In einem Speicher sind zu Beginn (t = 0) 80 m³ Wasser. Die Änderungsrate des Wasservolumens beträgt r(t) = 2 · (6 − t) in m³ pro Stunde (t in Stunden). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Abfluss. Tipp: Das Volumen ist der Anfangsbestand plus die Integralfunktion der Rate: V(t) = 80 + ∫₀ᵗ r(s) ds. Am meisten Wasser ist im Speicher, wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt.
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3 P.
\(\text{Gib das Volumen } V(t) \text{ als Term an.}\)Lösung: \(V(t) = 80 + \int_0^t 2(6 - s)\,ds = 80 + 12t - 1t^2\)
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2 P.
\(\text{Zu welchem Zeitpunkt ist am meisten Wasser im Speicher?}\)hLösung: \(r(t) = 0 \;\Rightarrow\; t = 6\,\text{h}\quad(\text{Vorzeichenwechsel von } + \text{ nach } -)\)
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3 P.
\(\text{Wie viel Wasser ist dann im Speicher?}\)m³Lösung: \(V(6) = 80 + 72 - 36 = 116\,\text{m}^3\)
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2 P.
\(\text{Wann ist wieder so viel Wasser im Speicher wie am Anfang?}\)hLösung: \(V(t) = 80 \;\Rightarrow\; 12t - 1t^2 = 0 \;\Rightarrow\; t = 12\,\text{h}\quad (t = 0 \text{ ist der Anfang})\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
Die Bürgermeisterin behauptet: Mindestens 50 % der Bürger sind für den neuen Radweg. Eine Zeitung befragt 100 zufällig ausgewählte Bürger. X ist die Anzahl der Befürworter. Getestet wird H₀: p ≥ 0,5 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Sind es auffällig wenige Befürworter, wird H₀ abgelehnt. Tipp: Rechne mit p = 0,5 und suche das größte k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05. Beim Fehler 2. Art behält man H₀, obwohl sie falsch ist.
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1 P.
\(\text{Erwartungswert von X, wenn die Bürgermeisterin genau recht hat}\)Lösung: \(E(X) = 100 \cdot 0{,}5 = 50\)
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4 P.
\(\text{Bis zu wie vielen Befürwortern wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \leq 41) \approx 0{,}0443 \leq 0{,}05,\quad P(X \leq 42) \approx 0{,}0666 > 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{0, \dots, 41\}\)
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2 P.
\(\text{Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \leq 41) \approx 0{,}0443\)
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3 P.
\(\text{In Wahrheit sind nur 40\,\% dafür. Wie groß ist der Fehler 2. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\beta = P_{p = 0{,}4}(X \geq 42) = 1 - P(X \leq 41) \approx 0{,}3775\)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Ein dreieckiges Sonnensegel ist an den Punkten A(12|0|0), B(0|8|0) und C(0|0|8) befestigt (Angaben in Metern). Der Boden ist die x-y-Ebene, der Ursprung O ist die Hausecke. Tipp: Den Normalenvektor des Segels bekommst Du mit dem Kreuzprodukt AB × AC. Der Winkel zum Boden ist der Winkel zwischen diesem Normalenvektor und der z-Achse.
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3 P.
\(\text{Wie groß ist die Fläche des Segels? (in m}^2\text{, 2 Stellen)}\)m²Lösung: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}64\\96\\96\end{pmatrix},\quad A = \tfrac{1}{2}\sqrt{22528} \approx 75{,}05\,\text{m}^2\)
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3 P.
\(\text{Unter welchem Winkel ist das Segel gegen den Boden geneigt? (2 Stellen)}\)°Lösung: \(\cos\alpha = \frac{96}{\sqrt{22528}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 50{,}24^\circ\)
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2 P.
\(\text{Ein senkrechter Mast steht in } P(3|4|0)\text{. In welchem Punkt trifft er das Segel?}\)Lösung: \(\tfrac{x}{12} + \tfrac{y}{8} + \tfrac{z}{8} = 1 \text{ mit } x = 3,\ y = 4 \;\Rightarrow\; S(3 \mid 4 \mid 2)\)
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2 P.
\(\text{Wie weit ist die Hausecke } O \text{ vom Segel entfernt? (2 Stellen)}\)mLösung: \(d = \frac{|64 \cdot 0 + 96 \cdot 0 + 96 \cdot 0 - 768|}{\sqrt{22528}} \approx 5{,}12\,\text{m}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.