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Rechner für gebrochenrationale Funktionen

Gib eine gebrochenrationale Funktion ein – der Rechner bestimmt Definitionsbereich, Polstellen, hebbare Lücken, Nullstellen und alle Asymptoten. Jeder Schritt wird erklärt, gerechnet wird exakt mit Brüchen. Zum Schluss siehst Du den Graphen mit Asymptoten und Löchern.

Schreibweise: Zähler und Nenner in Klammern, z. B. (x^2 - 1)/(x - 2). Erlaubt sind auch Summen wie x + 1/x oder 2 - 3/(x + 1), Potenzen mit ^ und Dezimalzahlen mit Komma.

Beispiele: $\frac{x^2-1}{x-2}$ (schiefe Asymptote) $\frac{x^2-1}{x-1}$ (hebbare Lücke) $\frac{2x^2+1}{x^2-4}$ $\frac{3}{(x-1)^2}$ (ohne VZW) $x + \frac{1}{x}$ $\frac{x^3-1}{x^2-1}$

Was der Rechner untersucht

  1. Definitionsbereich: Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken.
  2. Kürzen: Zähler und Nenner werden faktorisiert. Ein gemeinsamer Faktor wird gekürzt.
  3. Art der Lücken: Hebbare Lücke (nur ein Loch im Graphen) oder Polstelle (senkrechte Asymptote), mit oder ohne Vorzeichenwechsel – samt einseitiger Grenzwerte.
  4. Nullstellen: Der gekürzte Zähler wird 0 gesetzt; Stellen außerhalb des Definitionsbereichs fallen weg.
  5. Verhalten im Unendlichen: waagerechte Asymptote, schiefe Asymptote oder Näherungskurve über die Polynomdivision.
  6. Symmetrie und y-Achsenabschnitt.

Die Regeln dahinter mit vielen Beispielen erklärt die Seite Gebrochenrationale Funktionen. Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte bestimmt der Kurvendiskussion-Rechner, einzelne Grenzwerte erklärt Grenzwerte und Stetigkeit.

Kontrolle mit dem Graphen

An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel springt der Graph von $-\infty$ nach $+\infty$ (oder umgekehrt). Ohne Vorzeichenwechsel laufen beide Äste in dieselbe Richtung – wie bei $\frac{1}{x^2}$. Eine hebbare Lücke siehst Du im Graphen nur als kleinen offenen Kreis.

Passt dazu

ErklärungGebrochenrationale Funktionen – Definitionslücken, Polstellen und AsymptotenDefinitionsbereich, Polstelle oder hebbare Lücke, Vorzeichenwechsel, waagerechte und schiefe Asymptoten mit Polynomdivision, Nullstellen und Symmetrie – mit Graphen und Übungen.Klasse 11–12 · AnalysisRechnerKurvendiskussion-Rechner – für alle Funktionen mit RechenwegVollständige Kurvendiskussion für Polynome, e-, ln-, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen – mit Asymptoten, exakten Werten, Tangente und Graph.Klasse 11–13 · AnalysisRechnerPolynomdivision-Rechner mit RechenwegTeilt Polynome schriftlich mit allen Zwischenschritten und findet alle Nullstellen durch Raten und Polynomdivision.Klasse 11–13 · AnalysisErklärungAbleitung einfach erklärt – Steigung, Tangente, h-MethodeWas die Ableitung bedeutet, wie man sie mit dem Differenzenquotienten herleitet und wie man Tangenten berechnet.Klasse 11 · AnalysisErklärungAbleitungsregeln – Potenz-, Produkt-, Quotienten- und KettenregelAlle Ableitungsregeln mit Beispielen und einer Tabelle der wichtigsten Ableitungen.Klasse 11–12 · AnalysisRechnerAbleitungsrechner mit RechenwegLeitet jede Funktion Schritt für Schritt ab – mit Ableitungsregel, Erklärung und Kontrolle durch ein Computeralgebrasystem.Klasse 11–13 · Analysis
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