Bruchgleichungen lösen
Bei einer Bruchgleichung steht die Unbekannte $x$ im Nenner, zum Beispiel $\frac{6}{x} = 2$ oder $\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x + 2}$. Das Lösen klappt fast wie bei linearen Gleichungen – mit einem wichtigen Zusatzschritt am Anfang und einer Kontrolle am Ende.
Warum Bruchgleichungen besonders sind
Durch 0 darf man nicht teilen. Deshalb sind alle Zahlen verboten, bei denen ein Nenner 0 wird. Bei $\frac{3}{x - 2}$ ist $x = 2$ verboten, denn dann stünde $\frac{3}{0}$ da. Die erlaubten Zahlen bilden die Definitionsmenge $\mathbb{D}$:
Kommt am Ende eine verbotene Zahl heraus, ist sie keine Lösung – auch wenn die Rechnung sonst stimmt.
Merke: Bruchgleichungen in fünf Schritten
- Definitionsmenge: Jeden Nenner gleich 0 setzen – diese Zahlen sind ausgeschlossen.
- Hauptnenner: das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner (Nenner vorher, wenn möglich, in Faktoren zerlegen).
- Mit dem Hauptnenner multiplizieren: jedes Glied auf beiden Seiten – danach kürzt sich jeder Bruch weg.
- Gleichung lösen – sie ist jetzt linear oder quadratisch.
- Prüfen: Liegt das Ergebnis in $\mathbb{D}$? Dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ angeben.
Beispiel 1: ein Nenner mit $x$
$\frac{12}{x + 1} = 3$, $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$
$3 \in \mathbb{D}$, also $\mathbb{L} = \{3\}$. Probe: $\frac{12}{3 + 1} = 3$ ✓
Beispiel 2: über Kreuz multiplizieren
Steht auf jeder Seite genau ein Bruch, kannst Du direkt über Kreuz multiplizieren: Zähler links mal Nenner rechts = Zähler rechts mal Nenner links. Das ist dasselbe wie das Multiplizieren mit beiden Nennern.
$\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x + 2}$, $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2;\ 2\}$
$8 \in \mathbb{D}$, also $\mathbb{L} = \{8\}$.
Beispiel 3: Hauptnenner aus mehreren Nennern
$\frac{2}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{5}{4}$, $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Der Hauptnenner von $x$, $2x$ und $4$ ist $4x$:
$\mathbb{L} = \{2\}$.
Beispiel 4: Die Lösung ist verboten
$\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} + 3$, $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$
Aber $2 \notin \mathbb{D}$ – für $x = 2$ wird der Nenner 0. Die Gleichung hat keine Lösung: $\mathbb{L} = \{\,\}$.
Beispiel 5: Es entsteht eine quadratische Gleichung
$\frac{x}{x - 3} - \frac{4}{x} = \frac{9}{x(x - 3)}$, $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0;\ 3\}$. Der Hauptnenner ist $x(x - 3)$:
Die quadratische Gleichung löst Du mit der pq-Formel oder mit dem Satz von Vieta. Weil $3 \notin \mathbb{D}$, bleibt nur $\mathbb{L} = \{1\}$.
Tipp: Nenner zerlegen
Sieht ein Nenner kompliziert aus, zerlege ihn in Faktoren: $x^2 - 3x = x(x - 3)$ oder $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (dritte binomische Formel). So siehst Du die verbotenen Zahlen sofort und findest den kleinsten Hauptnenner.
Typische Fehler
- Definitionsmenge vergessen – dann bleibt eine verbotene Zahl als „Lösung“ stehen.
- Nicht jedes Glied multipliziert: Bei $\frac{2}{x} + 1 = 3 \mid \cdot x$ wird auch die $1$ zu $x$ und die $3$ zu $3x$.
- Klammer vergessen: $3 \cdot (x - 2)$ ist $3x - 6$, nicht $3x - 2$.
- Aus der Summe kürzen: In $\frac{x + 6}{x}$ darf das $x$ nicht gekürzt werden – Kürzen geht nur bei Faktoren.
Online üben
Gib die Lösung ein (bei zwei Lösungen mit ; getrennt). Hat die Gleichung keine Lösung, tippe keine. In der Lösung steht in Klammern, welche Zahlen ausgeschlossen sind.
Stufe 1: ein Nenner mit x
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Aufgabe 1
\(\frac{x + 24}{x - 4} = -3\)\(x =\)\(x = -3 \quad (x \neq 4)\)
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Aufgabe 2
\(\frac{3}{x} = -\frac{4}{x + 7}\)\(x =\)\(x = -3 \quad (x \notin \{-7;\ 0\})\)
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Aufgabe 3
\(\frac{x + 17}{x + 7} = 3\)\(x =\)\(x = -2 \quad (x \neq -7)\)
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Aufgabe 4
\(\frac{x - 48}{x + 4} = -3\)\(x =\)\(x = 9 \quad (x \neq -4)\)
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Aufgabe 5
\(\frac{x - 16}{x - 1} = -2\)\(x =\)\(x = 6 \quad (x \neq 1)\)
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Aufgabe 6
\(\frac{16}{x + 4} = -4\)\(x =\)\(x = -8 \quad (x \neq -4)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Bruchgleichungen lösen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–10.
Weiter geht es mit Wurzelgleichungen – auch dort ist die Probe Pflicht. Die Grundlagen für das Umformen findest Du bei den Lineare Gleichungen, das Rechnen mit Brüchen unter Addieren und Subtrahieren.
Weiterlesen: Bruchgleichung bei Wikipedia