Wissenschaftliche Schreibweise
Die Entfernung zur Sonne, die Größe eines Virus oder die Zahl der Sterne in der Milchstraße: Solche Zahlen haben so viele Nullen, dass man sich beim Schreiben leicht verzählt. Mit Zehnerpotenzen schreibst Du sie kurz und übersichtlich – zum Beispiel $4{.}500{.}000 = 4{,}5 \cdot 10^{6}$.
Zehnerpotenzen
Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz mit der Basis 10. Der Exponent sagt Dir, wie viele Nullen die Zahl hat – bei negativen Exponenten, an welcher Stelle hinter dem Komma die 1 steht.
| Zehnerpotenz | ausgeschrieben | Zahlwort | Zehnerpotenz | ausgeschrieben | Name |
|---|---|---|---|---|---|
| $10^{0}$ | $1$ | eins | $10^{-1}$ | $0{,}1$ | ein Zehntel |
| $10^{1}$ | $10$ | zehn | $10^{-2}$ | $0{,}01$ | ein Hundertstel |
| $10^{2}$ | $100$ | hundert | $10^{-3}$ | $0{,}001$ | ein Tausendstel |
| $10^{3}$ | $1000$ | tausend | $10^{-4}$ | $0{,}0001$ | ein Zehntausendstel |
| $10^{6}$ | $1{.}000{.}000$ | eine Million | $10^{-6}$ | $0{,}000001$ | ein Millionstel |
| $10^{9}$ | $1{.}000{.}000{.}000$ | eine Milliarde | $10^{-9}$ | $0{,}000000001$ | ein Milliardstel |
| $10^{12}$ | $1{.}000{.}000{.}000{.}000$ | eine Billion | $10^{-12}$ | $0{,}000000000001$ | ein Billionstel |
Merke
- $10^{n}$ ist eine 1 mit $n$ Nullen: $10^{5} = 100{.}000$.
- $10^{-n} = \frac{1}{10^{n}}$: Bei $10^{-4} = 0{,}0001$ steht die 1 an der vierten Stelle hinter dem Komma.
- $10^{0} = 1$.
Mehr über Potenzen mit negativen Exponenten findest Du bei Potenzen und Potenzgesetze.
Was ist die wissenschaftliche Schreibweise?
In der wissenschaftlichen Schreibweise (auch Exponentialschreibweise oder Gleitkommadarstellung) schreibst Du jede Zahl als Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz:
Die Zahl $a$ heißt Mantisse, $n$ ist der Exponent. Vor dem Komma der Mantisse steht also genau eine Ziffer von 1 bis 9. Bei negativen Zahlen kommt nur ein Minus davor: $-0{,}004 = -4 \cdot 10^{-3}$.
Große Zahlen umwandeln
So gehst Du vor:
- Setze das Komma gedanklich direkt hinter die erste Ziffer.
- Zähle, um wie viele Stellen das Komma dafür nach links wandern musste. Diese Zahl ist der Exponent.
- Nullen am Ende der Mantisse lässt Du weg.
Beispiel
Die Sonne ist etwa $149{.}600{.}000\ \text{km}$ von der Erde entfernt. Das Komma steht hinter der letzten Null und muss 8 Stellen nach links, bis es hinter der 1 steht:
Probe: $1{,}496 \cdot 10^{8}$ heißt „Komma um 8 Stellen nach rechts“ – und das ergibt wieder $149{.}600{.}000$.
| Größe | ausgeschrieben | wissenschaftlich |
|---|---|---|
| Einwohner Deutschlands (gerundet) | $84{.}000{.}000$ | $8{,}4 \cdot 10^{7}$ |
| Menschen auf der Erde (gerundet) | $8{.}000{.}000{.}000$ | $8 \cdot 10^{9}$ |
| Lichtgeschwindigkeit in m/s | $299{.}792{.}458$ | $\approx 3 \cdot 10^{8}$ |
| Teilchen in einem Mol | $602{.}214{.}076{.}000{.}000{.}000{.}000{.}000$ | $\approx 6{,}022 \cdot 10^{23}$ |
Kleine Zahlen umwandeln
Bei Zahlen zwischen 0 und 1 wandert das Komma nach rechts, bis es hinter der ersten Ziffer steht, die nicht 0 ist. Der Exponent wird dann negativ.
Beispiel
Ein Haar ist etwa $0{,}00007\ \text{m}$ dick. Das Komma muss 5 Stellen nach rechts, bis es hinter der 7 steht:
Genauso: $0{,}00032 = 3{,}2 \cdot 10^{-4}$ und $0{,}05 = 5 \cdot 10^{-2}$.
Merke
- Zahl größer als 10: Komma nach links → positiver Exponent.
- Zahl zwischen 0 und 1: Komma nach rechts → negativer Exponent.
- Zahl zwischen 1 und 10: Exponent 0, z. B. $7{,}5 = 7{,}5 \cdot 10^{0}$.
Umgekehrt rechnest Du eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise zurück, indem Du das Komma um $n$ Stellen verschiebst – bei positivem $n$ nach rechts (Nullen anhängen), bei negativem $n$ nach links (vorne Nullen ergänzen): $2{,}05 \cdot 10^{-3} = 0{,}00205$.
Typische Fehler
- $45 \cdot 10^{5}$ ist zwar richtig gerechnet, aber noch nicht wissenschaftlich: Die Mantisse muss kleiner als 10 sein. Richtig: $4{,}5 \cdot 10^{6}$.
- Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ: $10^{-3} = 0{,}001$ ist positiv, nur sehr klein.
- Beim Zählen der Stellen die Nullen am Anfang nicht vergessen: $0{,}0006 = 6 \cdot 10^{-4}$, nicht $6 \cdot 10^{-3}$.
Vorsätze: Kilo, Mega, Milli, Mikro …
In Physik und Technik ersetzen Vorsätze vor der Einheit die Zehnerpotenz. Ein Kilometer sind $10^{3}$ Meter, ein Mikrometer ist $10^{-6}$ Meter.
| Vorsatz | Zeichen | Faktor | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Tera | T | $10^{12}$ | 2 TB Festplatte |
| Giga | G | $10^{9}$ | 3 GHz Prozessortakt |
| Mega | M | $10^{6}$ | 5 MW Windrad |
| Kilo | k | $10^{3}$ | 42 km Marathon |
| Hekto | h | $10^{2}$ | 1 hl = 100 l |
| Dezi | d | $10^{-1}$ | 1 dm = 10 cm |
| Zenti | c | $10^{-2}$ | 1 cm = 10 mm |
| Milli | m | $10^{-3}$ | 5 mg Salz |
| Mikro | µ | $10^{-6}$ | 70 µm Haardicke |
| Nano | n | $10^{-9}$ | 120 nm Virus |
| Piko | p | $10^{-12}$ | 100 pF Kondensator |
Beispiel
$3{,}5\ \text{km} = 3{,}5 \cdot 10^{3}\ \text{m} = 3500\ \text{m}$ und $250\ \text{nm} = 250 \cdot 10^{-9}\ \text{m} = 2{,}5 \cdot 10^{-7}\ \text{m}$.
Umgekehrt: $4{,}7 \cdot 10^{-4}\ \text{m} = 470 \cdot 10^{-6}\ \text{m} = 470\ \text{µm}$.
Wie Du Längen, Gewichte und Volumen ohne Zehnerpotenzen umrechnest, steht bei Größen und Einheiten.
Rechnen mit Zehnerpotenzen
Multiplizieren
Mantissen multiplizieren, Exponenten addieren – das ist das Potenzgesetz $10^{m} \cdot 10^{n} = 10^{m+n}$. Zum Schluss normalisierst Du, falls die Mantisse 10 oder größer ist.
Dividieren
Mantissen teilen, Exponenten subtrahieren: $10^{m} : 10^{n} = 10^{m-n}$.
Addieren und Subtrahieren
Hier musst Du zuerst beide Zahlen auf dieselbe Zehnerpotenz bringen. Dann klammerst Du die Zehnerpotenz aus:
Potenzieren
Beide Faktoren werden potenziert, die Exponenten multipliziert: $(2 \cdot 10^{3})^{2} = 2^{2} \cdot 10^{3 \cdot 2} = 4 \cdot 10^{6}$.
Tipp: Überschlag mit Zehnerpotenzen
Wie lange braucht das Licht von der Sonne zur Erde? $\frac{1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}}{3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}} = 0{,}5 \cdot 10^{3}\ \text{s} = 500\ \text{s}$ – gut 8 Minuten. Mit Zehnerpotenzen bekommst Du solche Größenordnungen schnell im Kopf heraus.
Die E-Anzeige des Taschenrechners
Ist eine Zahl zu lang für das Display, schaltet der Taschenrechner auf wissenschaftliche Schreibweise um. Viele Geräte zeigen dann ein E (für Exponent): 4.5E6 bedeutet $4{,}5 \cdot 10^{6}$, 3.2E-4 bedeutet $3{,}2 \cdot 10^{-4}$. Manche Taschenrechner schreiben stattdessen $4{,}5 \times 10^{6}$.
Zum Eingeben gibt es eine eigene Taste, meist beschriftet mit EXP, EE oder ×10ˣ: Für $3{,}2 \cdot 10^{-4}$ tippst Du 3.2, die Taste, dann -4.
Achtung
Das E hat nichts mit der Eulerschen Zahl $e \approx 2{,}718$ zu tun. Und gib $10^{6}$ nicht als „10 EXP 6“ ein – das wäre $10 \cdot 10^{6} = 10^{7}$. Richtig ist „1 EXP 6“.
Rechne es mit dem Rechner für die wissenschaftliche Schreibweise nach – er zeigt Dir jeden Schritt.
Online üben
Gib Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise so ein: 4,5·10^6, 4,5*10^6 oder 4,5E6 – negative Exponenten als 3,2·10^-4. In Stufe 2 geht es um Vorsätze und Einheiten, in Stufe 3 um das Rechnen.
Stufe 1: umwandeln
-
Aufgabe 1
\(3110\)\(3110 = 3{,}11 \cdot 10^{3}\)
-
Aufgabe 2
\(0{,}0000000447\)\(0{,}0000000447 = 4{,}47 \cdot 10^{-8}\)
-
Aufgabe 3
\(0{,}0000000162\)\(0{,}0000000162 = 1{,}62 \cdot 10^{-8}\)
-
Aufgabe 4
\(78{.}200{.}000\)\(78{.}200{.}000 = 7{,}82 \cdot 10^{7}\)
-
Aufgabe 5
\(0{,}000007\)\(0{,}000007 = 7 \cdot 10^{-6}\)
-
Aufgabe 6
\(1{,}82 \cdot 10^{4}\)\(1{,}82 \cdot 10^{4} = 18{.}200\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Wissenschaftliche Schreibweise
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–10.
Weiter mit Potenzen und Potenzgesetzen, dem Logarithmus (Wie oft muss ich mit 10 multiplizieren?) oder ganz anderen Zahlen: den Zahlensystemen mit Dual- und Hexadezimalzahlen.
Weiterlesen: Wissenschaftliche Notation bei Wikipedia