Wurzelgleichungen lösen
In einer Wurzelgleichung steht die Unbekannte unter einer Wurzel, zum Beispiel $\sqrt{x + 5} = 4$ oder $\sqrt{2x - 1} = x - 2$. Die Wurzel wirst Du los, indem Du quadrierst. Dabei kann sich allerdings eine falsche „Lösung“ einschleichen – deshalb gehört die Probe immer dazu.
Merke: Wurzelgleichungen in vier Schritten
- Wurzel isolieren: Die Wurzel steht allein auf einer Seite.
- Quadrieren: Beide Seiten hoch 2 nehmen – die Wurzel verschwindet.
- Lösen: Es entsteht eine lineare oder quadratische Gleichung.
- Probe: Jedes Ergebnis in die Ausgangsgleichung einsetzen. Stimmt sie nicht, ist es eine Scheinlösung.
Beispiel 1: eine Wurzel, lineare Gleichung
Probe: $\sqrt{11 + 5} = \sqrt{16} = 4$ ✓ $\mathbb{L} = \{11\}$
Beispiel 2: erst isolieren, dann quadrieren
Probe: $2 \cdot \sqrt{16} + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 11$ ✓
Warum es Scheinlösungen gibt
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung: Aus $a = b$ folgt zwar $a^2 = b^2$, aber umgekehrt nicht – denn auch $(-3)^2 = 3^2$, obwohl $-3 \neq 3$. Beim Quadrieren kommen also Lösungen der Gleichung $\sqrt{\ldots} = -(\ldots)$ dazu. Eine Wurzel ist aber nie negativ. Die Probe sortiert diese Scheinlösungen wieder aus.
Beispiel 3: quadratische Gleichung mit Scheinlösung
Beim Quadrieren der rechten Seite brauchst Du die binomische Formel: $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$, nicht $x^2 + 4$.
Probe für $x = 5$: links $\sqrt{9} = 3$, rechts $5 - 2 = 3$ ✓
Probe für $x = 1$: links $\sqrt{1} = 1$, rechts $1 - 2 = -1$ ✗ – Scheinlösung.
Also $\mathbb{L} = \{5\}$.
Beispiel 4: zwei Wurzeln – zweimal quadrieren
Stehen zwei Wurzeln in der Gleichung, isolierst Du zuerst eine davon, quadrierst, isolierst die verbleibende Wurzel und quadrierst noch einmal:
Probe: $\sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$ ✓ $\mathbb{L} = \{2\}$
Beispiel 5: keine Lösung
$\sqrt{x + 2} = -3$ hat keine Lösung, denn eine Wurzel ist nie negativ. Wer trotzdem quadriert, erhält $x + 2 = 9$, also $x = 7$ – die Probe zeigt $\sqrt{9} = 3 \neq -3$. $\mathbb{L} = \{\,\}$.
Tipp: Definitionsmenge
Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Bei $\sqrt{2x - 1}$ muss $2x - 1 \geq 0$ sein, also $x \geq \frac{1}{2}$. Das ist ein schneller erster Check – die Probe ersetzt es aber nicht, denn auch $x = 1$ aus Beispiel 3 liegt in der Definitionsmenge und ist trotzdem eine Scheinlösung.
Typische Fehler
- Quadrieren, bevor die Wurzel allein steht: Aus $\sqrt{x} + 3 = 5$ wird nicht $x + 9 = 25$.
- Binomische Formel vergessen: $(x - 2)^2 \neq x^2 - 4$.
- Wurzel einer Summe aufteilen: $\sqrt{x + 9} \neq \sqrt{x} + 3$.
- Probe weglassen: Dann bleibt eine Scheinlösung in der Lösungsmenge stehen.
Online üben
Gib die Lösung ein (bei zwei Lösungen mit ; getrennt). Gibt es keine Lösung, tippe keine. In der Lösung siehst Du auch, welche Zahl beim Rechnen als Scheinlösung herauskommt.
Stufe 1: eine Wurzel, lineare Gleichung
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Aufgabe 1
\(\sqrt{x} + 3 = 10\)\(x =\)\(x = 49\)
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Aufgabe 2
\(\sqrt{x + 18} = 6\)\(x =\)\(x = 18\)
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Aufgabe 3
\(\sqrt{4x + 29} = 5\)\(x =\)\(x = -1\)
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Aufgabe 4
\(\sqrt{x + 75} = 9\)\(x =\)\(x = 6\)
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Aufgabe 5
\(\sqrt{x + 19} = -6\)\(\text{keine Lösung} \quad (x = 17\text{ entfällt})\)
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Aufgabe 6
\(5\sqrt{x - 5} = 20\)\(x =\)\(x = 21\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Wurzelgleichungen lösen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Quadratische Gleichungen nach dem Quadrieren löst Du mit der pq-Formel oder der abc-Formel. Rechenregeln für Wurzeln findest Du unter Wurzeln, Gleichungen mit $x$ im Nenner unter Bruchgleichungen.
Weiterlesen: Wurzelgleichung bei Wikipedia