Formeln umstellen
In Physik, Chemie und Geometrie steht eine Formel oft „falsch herum“: Du kennst den Flächeninhalt und suchst die Höhe, Du kennst Weg und Geschwindigkeit und suchst die Zeit. Dann stellst Du die Formel nach der gesuchten Größe um. Das ist nichts anderes als eine Gleichung lösen – nur mit Buchstaben statt Zahlen.
Die Grundidee: rückwärts rechnen
Schau Dir an, was mit der gesuchten Größe passiert. Bei $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ wird $h$ zuerst mit $g$ und dann mit $\frac{1}{2}$ multipliziert:
Um $h$ zu bekommen, gehst Du denselben Weg rückwärts und machst jede Rechnung mit der Gegenrechnung rückgängig – erst die letzte, dann die vorletzte:
Merke: Gegenoperationen
| Mit der Größe wurde … | Du rechnest auf beiden Seiten … |
|---|---|
| $+\,a$ addiert | $-\,a$ |
| $-\,a$ subtrahiert | $+\,a$ |
| mit $a$ multipliziert | $:\,a$ |
| durch $a$ geteilt | $\cdot\, a$ |
| quadriert ($x^2$) | die Wurzel ziehen |
| die Wurzel gezogen ($\sqrt{x}$) | quadrieren |
| hoch $n$ genommen ($x^n$) | die $n$-te Wurzel ziehen |
| in den Exponenten gesetzt ($\mathrm{e}^{x}$, $a^{x}$) | logarithmieren ($\ln$) |
Wie bei jeder Gleichung gilt: Was Du tust, tust Du auf beiden Seiten.
Das Schema in vier Schritten
- Gesuchte Größe markieren. Steht sie rechts, tauschst Du die beiden Seiten.
- Von außen nach innen arbeiten: Zuerst störende Summanden auf die andere Seite bringen, dann Faktoren und Nenner, zuletzt Quadrat oder Wurzel auflösen.
- Steht die Größe im Nenner, multiplizierst Du zuerst mit diesem Nenner.
- Kontrolle: Setze einfache Zahlen ein und prüfe, ob Ausgangsformel und umgestellte Formel zusammenpassen.
Beispiel 1: Dreiecksfläche nach der Höhe
Kontrolle mit $g = 6$, $h = 4$: $A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ und $\frac{2 \cdot 12}{6} = 4$ ✓
Beispiel 2: Geschwindigkeit $v = \frac{s}{t}$ nach der Zeit $t$
Hier steht die gesuchte Größe im Nenner. Multipliziere deshalb zuerst mit $t$:
Beispiel: $s = 150\,\text{km}$, $v = 60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ergibt $t = \frac{150}{60}\,\text{h} = 2{,}5\,\text{h}$.
Beispiel 3: Geradengleichung $y = m \cdot x + b$ nach $m$
Wichtig: Der Summand $b$ muss zuerst weg. Teilst Du gleich durch $x$, musst Du jedes Glied teilen – und $b$ stört weiter.
Beispiel 4: Bewegungsenergie $E = \frac{1}{2} m v^2$ nach $v$
Beim Wurzelziehen gäbe es rein mathematisch auch $v = -\sqrt{\frac{2E}{m}}$. Weil Größen wie Geschwindigkeiten oder Längen hier positiv sind, nimmst Du nur die positive Lösung.
Beispiel 5: Zylindervolumen $V = \pi r^2 h$ nach dem Radius $r$
Beispiel 6: Fadenpendel $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ nach der Länge $l$
Die Wurzel löst Du durch Quadrieren auf – aber erst, wenn sie allein auf einer Seite steht:
Wenn die gesuchte Größe mehrfach vorkommt
Kommt die gesuchte Größe in mehreren Summanden vor, bringst Du alle diese Summanden auf eine Seite und klammerst die Größe aus. Danach teilst Du durch die Klammer.
Beispiel 7: Reihenschaltung $U = R_1 \cdot I + R_2 \cdot I$ nach $I$
Steht die Größe einmal als $x$ und einmal als $x^2$ in der Formel, hilft Ausklammern nicht mehr – dann brauchst Du die pq- oder abc-Formel. Der Rechner erledigt auch solche Fälle.
Tipp: das Formeldreieck
Für Formeln der Form $a = b \cdot c$ (z. B. $U = R \cdot I$ oder $s = v \cdot t$) gibt es eine Eselsbrücke: Schreibe $a$ oben in ein Dreieck, $b$ und $c$ unten nebeneinander. Hältst Du die gesuchte Größe zu, siehst Du die umgestellte Formel: oben über unten heißt „geteilt“, nebeneinander heißt „mal“. Das klappt aber nur bei einem einzigen Produkt – bei Summen, Quadraten oder Brüchen wie $\frac{1}{2}$ hilft nur das Rückwärtsrechnen.
Typische Fehler
- Nur einen Summanden teilen: Aus $y - b = m \cdot x$ wird durch $:x$ die Gleichung $\frac{y - b}{x} = m$ – nicht $y - \frac{b}{x}$.
- Wurzel aus einer Summe falsch ziehen: $\sqrt{c^2 - b^2}$ ist nicht $c - b$.
- Größe im Nenner übersehen: Bei $R = \frac{U}{I}$ nach $I$ zuerst mit $I$ multiplizieren.
- Vorzeichen beim Seitenwechsel: Ein Summand, der die Seite wechselt, ändert sein Vorzeichen.
- Groß- und Kleinbuchstaben verwechseln: $V$ (Volumen) und $v$ (Geschwindigkeit) sind verschiedene Größen.
Häufige Formeln – umgestellt
Ein Klick öffnet die Umstellung mit allen Schritten im Rechner.
| Formel | Umgestellt | im Rechner |
|---|---|---|
| Weg: $s = v \cdot t$ | $v = \frac{s}{t}$, $\;t = \frac{s}{v}$ | nach t |
| Ohmsches Gesetz: $U = R \cdot I$ | $R = \frac{U}{I}$, $\;I = \frac{U}{R}$ | nach I |
| Dichte: $\rho = \frac{m}{V}$ | $m = \rho \cdot V$, $\;V = \frac{m}{\rho}$ | nach V |
| Rechteck: $u = 2a + 2b$ | $a = \frac{u - 2b}{2}$ | nach a |
| Trapez: $A = \frac{1}{2}(a + c) \cdot h$ | $h = \frac{2A}{a + c}$ | nach h |
| Kreis: $A = \pi r^2$ | $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ | nach r |
| Kugel: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ | $r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$ | nach r |
| Pythagoras: $c^2 = a^2 + b^2$ | $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ | nach a |
| Zinsen: $Z = \frac{K \cdot p \cdot t}{100}$ | $K = \frac{100 \cdot Z}{p \cdot t}$ | nach K |
| Fall: $s = \frac{1}{2} g t^2$ | $t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$ | nach t |
| Temperatur: $F = 1{,}8 \cdot C + 32$ | $C = \frac{F - 32}{1{,}8}$ | nach C |
| Linse: $\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$ | $b = \frac{f \cdot g}{g - f}$ | nach b |
Online üben
Stelle die Formeln nach der angegebenen Größe um und tippe nur die rechte Seite ein – zum Beispiel 2*A/g oder sqrt(V/(pi*h)). Groß- und Kleinschreibung spielt bei der Eingabe keine Rolle.
Stufe 1: Produkte, Quotienten, Summen
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Aufgabe 1
\(\text{nach } a:\quad b = \frac{u}{a}\)\(a =\)\(a = \frac{u}{b}\)
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Aufgabe 2
\(\text{nach } r:\quad w = k \cdot u \cdot r\)\(r =\)\(r = \frac{w}{k \cdot u}\)
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Aufgabe 3
\(\text{nach } m:\quad a = m - x\)\(m =\)\(m = a + x\)
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Aufgabe 4
\(\text{nach } s:\quad k = 2s + r\)\(s =\)\(s = \frac{k - r}{2}\)
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Aufgabe 5
\(\text{nach } z:\quad d = \frac{z}{n}\)\(z =\)\(z = d \cdot n\)
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Aufgabe 6
\(\text{nach } x:\quad a = 4x + u\)\(x =\)\(x = \frac{a - u}{4}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Formeln umstellen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–10.
Deine eigene Formel umstellen? Der Rechner „Formel umstellen“ zeigt jeden Schritt und macht die Probe. Die Regeln für Äquivalenzumformungen findest Du unter Lineare Gleichungen, Gleichungen mit $x$ im Nenner unter Bruchgleichungen.
Weiterlesen: Äquivalenzumformung bei Wikipedia