Zuordnungen: proportional und antiproportional
Je mehr Brötchen Du kaufst, desto mehr musst Du bezahlen. Je mehr Leute beim Umzug helfen, desto schneller ist er geschafft. Solche Zusammenhänge zwischen zwei Größen heißen Zuordnungen. Zwei Arten kommen besonders oft vor – und wenn Du sie erkennst, kannst Du fehlende Werte ganz leicht berechnen.
Was ist eine Zuordnung?
Bei einer Zuordnung gehört zu jedem Wert der ersten Größe genau ein Wert der zweiten Größe. Du schreibst das mit einem Pfeil: $3\,\text{kg} \mapsto 9\,\text{€}$ (lies: „3 kg wird 9 € zugeordnet“). Mehrere Paare sammelst Du in einer Wertetabelle. Trägst Du die Paare als Punkte in ein Koordinatensystem ein, erhältst Du den Graphen der Zuordnung.
| Äpfel in kg | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Preis in € | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
Proportionale Zuordnung
Merke: proportional
- Zum Doppelten gehört das Doppelte, zum Dreifachen das Dreifache, zur Hälfte die Hälfte.
- Quotientengleichheit: Für alle Paare ist $\dfrac{y}{x}$ gleich. Dieser Wert heißt Proportionalitätsfaktor $k$. Es gilt $y = k \cdot x$.
- Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung (Ursprungsgerade).
Beispiel: Äpfel
$\dfrac{3}{1} = \dfrac{6}{2} = \dfrac{9}{3} = 3$ – alle Quotienten sind gleich, also ist die Zuordnung proportional mit $k = 3$: Ein Kilogramm kostet 3 €. Für 7 kg zahlst Du $3 \cdot 7 = 21$ €, für 2,5 kg sind es $3 \cdot 2{,}5 = 7{,}50$ €.
Antiproportionale Zuordnung
Merke: antiproportional
- Zum Doppelten gehört die Hälfte, zum Dreifachen ein Drittel. (Man sagt auch: umgekehrt proportional.)
- Produktgleichheit: Für alle Paare ist $x \cdot y$ gleich. Es gilt $y = \dfrac{k}{x}$.
- Der Graph ist eine gekrümmte Kurve, eine Hyperbel. Sie berührt die Achsen nie.
Beispiel: Gewinn teilen
Eine Klasse gewinnt 120 € und teilt gerecht. Bei 2 Personen bekommt jede 60 €, bei 3 Personen 40 €, bei 4 Personen 30 €. Probe: $2 \cdot 60 = 3 \cdot 40 = 4 \cdot 30 = 120$ – das Produkt ist immer gleich. Bei 8 Personen bekommt jede $120 : 8 = 15$ €.
Wie erkenne ich die Art der Zuordnung?
| proportional | antiproportional | |
|---|---|---|
| Faustregel | doppelt so viel → doppelt so viel | doppelt so viel → halb so viel |
| Rechenprobe | alle Quotienten $y : x$ gleich | alle Produkte $x \cdot y$ gleich |
| Formel | $y = k \cdot x$ | $y = k : x$ |
| Graph | Ursprungsgerade | Hyperbel |
| Beispiele | Menge → Preis, Zeit → Strecke bei gleichem Tempo | Arbeiter → Arbeitszeit, Tempo → Fahrzeit |
Achtung: „Je mehr, desto mehr“ reicht nicht!
Eine Taxifahrt kostet 4 € Grundgebühr und 2 € pro Kilometer. Je weiter Du fährst, desto teurer wird es – trotzdem ist die Zuordnung nicht proportional: 1 km kostet 6 €, 2 km kosten 8 €, nicht 12 €. Der Graph ist zwar eine Gerade, geht aber nicht durch den Ursprung. Genauso gilt: Nicht jede Zuordnung „je mehr, desto weniger“ ist antiproportional. Prüfe immer mit Quotienten oder Produkten.
Beispiel: drei Tabellen prüfen
- $2 \mapsto 10,\ 4 \mapsto 20,\ 5 \mapsto 25$: Quotienten $5, 5, 5$ → proportional.
- $2 \mapsto 30,\ 3 \mapsto 20,\ 6 \mapsto 10$: Produkte $60, 60, 60$ → antiproportional.
- $1 \mapsto 6,\ 2 \mapsto 8,\ 3 \mapsto 10$: Quotienten $6;\ 4;\ 3{,}3$ und Produkte $6;\ 16;\ 30$ → weder noch.
Fehlende Werte berechnen
Kennst Du die Art der Zuordnung und ein einziges Wertepaar, kannst Du jeden anderen Wert ausrechnen. Am sichersten geht das über den Wert, der zu 1 gehört – genau so funktioniert der Dreisatz.
proportional: $4 \mapsto 10$, gesucht: $6 \mapsto\ ?$
Zu 1 gehört $10 : 4 = 2{,}5$. Zu 6 gehört $2{,}5 \cdot 6 = 15$.
antiproportional: $4 \mapsto 15$, gesucht: $6 \mapsto\ ?$
Zu 1 gehört $15 \cdot 4 = 60$ (das Produkt). Zu 6 gehört $60 : 6 = 10$.
Tipp
Mach am Ende eine Plausibilitätsprüfung: Bei „mehr Arbeitern“ muss die Zeit kürzer werden, bei „mehr Ware“ der Preis höher. Passt die Richtung nicht, hast Du die Art verwechselt. Lange Rechnungen mit Sätzen nimmt Dir der Dreisatz-Rechner ab.
Proportionale Zuordnungen begegnen Dir wieder bei der Prozentrechnung, beim Maßstab und später bei den linearen Funktionen.
Online üben
Stufe 1: proportional
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Aufgabe 1
\(\text{proportional:}\quad 4 \mapsto 26,\quad 9 \mapsto \square\)\(4 \mapsto 26,\quad 9 \mapsto 58{,}5\)
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Aufgabe 2
\(\text{proportional:}\quad 2 \mapsto \square,\quad 7 \mapsto 70\)\(2 \mapsto 20,\quad 7 \mapsto 70\)
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Aufgabe 3
\(\text{proportional:}\quad 3 \mapsto 36,\quad 4 \mapsto \square,\quad 6 \mapsto \square\)\(3 \mapsto 36,\quad 4 \mapsto 48,\quad 6 \mapsto 72\)
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Aufgabe 4
\(\text{proportional:}\quad 2 \mapsto 7\quad\text{Quotient } y : x = \)\(2 \mapsto 7\quad\text{Quotient } y : x = 3{,}5\)
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Aufgabe 5
\(\text{proportional:}\quad 9 \mapsto 90\quad\text{Quotient } y : x = \)\(9 \mapsto 90\quad\text{Quotient } y : x = 10\)
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Aufgabe 6
\(\text{proportional:}\quad 5 \mapsto \square,\quad 9 \mapsto 45\)\(5 \mapsto 25,\quad 9 \mapsto 45\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Zuordnungen: proportional und antiproportional
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–7.
Weiterlesen: Proportionalität bei Wikipedia