Gebrochenrationale Funktionen
Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen, zum Beispiel $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$. Anders als ganzrationale Funktionen haben sie Lücken im Definitionsbereich, senkrechte Asymptoten und oft eine waagerechte oder schiefe Asymptote. Hier lernst Du Schritt für Schritt, wie Du all das bestimmst.
Steht im Nenner nur eine Zahl, ist die Funktion ganzrational (ein Polynom). Typische Beispiele sind $\frac{1}{x}$, $\frac{2x + 1}{x - 3}$ oder $\frac{x^3}{x^2 + 1}$. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, heißt die Funktion echt gebrochenrational, sonst unecht.
Definitionsbereich und Definitionslücken
Durch 0 darf man nicht teilen. Deshalb gehören alle Nullstellen des Nenners nicht zum Definitionsbereich – sie heißen Definitionslücken.
Beispiel
$f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$: Nenner gleich 0 setzen: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = -2$ oder $x = 2$.
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2;\ 2\}$.
Achtung
Bestimme den Definitionsbereich immer vor dem Kürzen. Nach dem Kürzen ist eine Lücke im Term nicht mehr zu sehen – sie gehört aber trotzdem nicht zum Definitionsbereich.
Polstelle oder hebbare Lücke?
Nicht jede Definitionslücke sieht im Graphen gleich aus. Um das zu entscheiden, zerlegst Du Zähler und Nenner in Linearfaktoren und kürzt gemeinsame Faktoren:
- Hebbare Lücke: Der Faktor $(x - a)$ lässt sich vollständig herauskürzen. Der Graph hat bei $x = a$ nur ein Loch. Seine Höhe bekommst Du, indem Du $a$ in den gekürzten Term einsetzt.
- Polstelle: Nach dem Kürzen ist $a$ immer noch Nullstelle des Nenners (und nicht des Zählers). Der Graph schießt dort nach $+\infty$ oder $-\infty$; die Gerade $x = a$ ist eine senkrechte Asymptote.
Beispiel: hebbare Lücke
$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ für $x \neq 1$.
Bei $x = 1$ liegt eine hebbare Lücke vor. Einsetzen in den gekürzten Term: $1 + 1 = 2$. Der Graph ist die Gerade $y = x + 1$ mit einem Loch bei $(1 \mid 2)$.
Mit oder ohne Vorzeichenwechsel
Wie sich der Graph an einer Polstelle verhält, hängt davon ab, wie oft der Faktor $(x - a)$ im (gekürzten) Nenner vorkommt:
| Faktor im Nenner | Beispiel | Verhalten |
|---|---|---|
| einfach (ungerade oft) | $\frac{1}{x}$ | Polstelle mit Vorzeichenwechsel: links $-\infty$, rechts $+\infty$ (oder umgekehrt) |
| doppelt (gerade oft) | $\frac{1}{x^2}$ | Polstelle ohne Vorzeichenwechsel: auf beiden Seiten in dieselbe Richtung |
Die einseitigen Grenzwerte schreibt man so: $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty$ und $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty$. Das Vorzeichen findest Du am schnellsten durch eine Testzahl knapp links bzw. rechts der Polstelle, etwa $x = -0{,}01$ und $x = 0{,}01$.
Verhalten im Unendlichen und Asymptoten
Für sehr große $|x|$ entscheiden nur die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. Vergleiche den Zählergrad $z$ mit dem Nennergrad $n$:
| Grade | Asymptote | Beispiel |
|---|---|---|
| $z < n$ | waagerechte Asymptote $y = 0$ (x-Achse) | $\frac{3x}{x^2 + 1} \to 0$ |
| $z = n$ | waagerechte Asymptote $y = \frac{a}{b}$ (Quotient der Leitkoeffizienten) | $\frac{2x^2 + 1}{x^2 - 4} \to 2$ |
| $z = n + 1$ | schiefe Asymptote $y = mx + c$ (Polynomdivision) | $\frac{x^2 - 1}{x - 2} = x + 2 + \frac{3}{x - 2}$ |
| $z > n + 1$ | keine Gerade, sondern eine ganzrationale Näherungskurve | $\frac{x^4}{x - 1}$ |
Beispiel: schiefe Asymptote
$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$: Zählergrad 2, Nennergrad 1 – also gibt es eine schiefe Asymptote. Mit der Polynomdivision:
$(x^2 - 1) : (x - 2) = x + 2 + \frac{3}{x - 2}$
Der Restbruch $\frac{3}{x - 2}$ geht für $x \to \pm\infty$ gegen 0. Übrig bleibt die schiefe Asymptote $y = x + 2$. Dazu kommt die senkrechte Asymptote $x = 2$ (Polstelle mit Vorzeichenwechsel).
Beispiel: waagerechte Asymptote
$f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 4}$: Zähler- und Nennergrad sind gleich. Für große $|x|$ ist $f(x) \approx \frac{2x^2}{x^2} = 2$. Waagerechte Asymptote: $y = 2$. Senkrechte Asymptoten bei $x = -2$ und $x = 2$. Wegen $f(-x) = f(x)$ ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nullstellen
Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein Zähler 0 ist und der Nenner nicht. Setze also den (gekürzten) Zähler gleich 0 und prüfe, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt.
Beispiel
$f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$: Der Zähler ist 0 für $x = -3$ und $x = 3$. Aber $x = 3$ ist eine Definitionslücke (hier sogar hebbar: $f(x) = x + 3$ für $x \neq 3$). Einzige Nullstelle ist $x = -3$.
Symmetrie
Wie bei allen Funktionen prüfst Du mit $f(-x)$: Gilt $f(-x) = f(x)$, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse; gilt $f(-x) = -f(x)$, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung. Ein Bruch aus zwei geraden oder zwei ungeraden Polynomen ist achsensymmetrisch (z. B. $\frac{x}{x^3 - x}$, $\frac{1}{x^2}$), gerade durch ungerade ist punktsymmetrisch (z. B. $\frac{x^2 + 1}{x}$). Der Definitionsbereich muss dabei selbst symmetrisch sein.
Schema: gebrochenrationale Funktion untersuchen
- Definitionsbereich: Nenner gleich 0 setzen.
- Faktorisieren und kürzen: gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner suchen.
- Art der Lücken: hebbare Lücke (Loch) oder Polstelle mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel.
- Nullstellen: gekürzten Zähler gleich 0 setzen, Lösungen mit dem Definitionsbereich abgleichen.
- Asymptoten: senkrechte an den Polstellen; Grade vergleichen für waagerechte oder schiefe Asymptote.
- Symmetrie und Schnittpunkt mit der y-Achse ($f(0)$, falls $0 \in \mathbb{D}$).
- Für Extrem- und Wendepunkte ableiten – meist mit der Quotientenregel.
Typische Fehler
- Gekürzt, bevor der Definitionsbereich bestimmt wurde – und dabei die hebbare Lücke übersehen.
- Im Zähler oder Nenner „aus Summen gekürzt“: $\frac{x + 2}{x + 5}$ lässt sich nicht kürzen, nur gemeinsame Faktoren.
- Eine Nullstelle des Zählers angegeben, die zugleich Definitionslücke ist.
- Bei gleichem Grad $y = 0$ statt des Quotienten der Leitkoeffizienten angegeben.
Rechner
Mit dem Rechner für gebrochenrationale Funktionen kannst Du jede Aufgabe kontrollieren – mit Rechenweg, Polynomdivision und Graph. Ein Beispiel: $\frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ untersuchen. Die vollständige Kurvendiskussion mit Extrempunkten liefert der Kurvendiskussion-Rechner.
Online üben
Stufe 2: Polstelle oder hebbare Lücke, Grenzwerte
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Aufgabe 1
\(f(x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2x - 15}:\ \text{Stelle der hebbaren Lücke}\)\(x =\)\(f(x) = \frac{x + 3}{x + 5}\ (x \neq 3) \;\Rightarrow\; x = 3\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 4}:\ \text{Stelle der hebbaren Lücke}\)\(x =\)\(f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}\ (x \neq 2) \;\Rightarrow\; x = 2\)
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Aufgabe 3
\(\lim_{x \to 1^{-}} \frac{3}{x - 1}\)\(-\infty\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = \frac{x^{2} - 4x}{x^{2} - 3x - 4}:\ \text{Stelle der hebbaren Lücke}\)\(x =\)\(f(x) = \frac{x}{x + 1}\ (x \neq 4) \;\Rightarrow\; x = 4\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2x}:\ \text{Stelle der hebbaren Lücke}\)\(x =\)\(f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}\ (x \neq 0) \;\Rightarrow\; x = 0\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = \frac{x^{2} - 8x + 15}{x^{2} - x - 6}:\ \text{Stelle der hebbaren Lücke}\)\(x =\)\(f(x) = \frac{x - 5}{x + 2}\ (x \neq 3) \;\Rightarrow\; x = 3\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gebrochenrationale Funktionen untersuchen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Mehr zu Grenzwerten, auch an Polstellen und im Unendlichen: Grenzwerte und Stetigkeit. Brüche aus Polynomen integrieren: Partialbruchzerlegung.
Weiterlesen: Rationale Funktion bei Wikipedia