Grenzwerte und Stetigkeit
Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich die Funktionswerte nähern, wenn $x$ immer größer wird oder einer bestimmten Stelle immer näher kommt. Damit untersuchst Du das Verhalten im Unendlichen, Definitionslücken und die Frage, ob ein Graph „ohne Absetzen“ gezeichnet werden kann (Stetigkeit).
Grenzwerte für x gegen ±∞
Man schreibt $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = a$, wenn $f(x)$ für immer größere $x$ beliebig nahe an $a$ herankommt. Wächst $f(x)$ über jede Schranke, schreibt man $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$ (der Grenzwert existiert dann im strengen Sinn nicht, man sagt: $f$ divergiert bestimmt).
So gehst Du vor
- Ganzrationale Funktion: Nur der Summand mit der höchsten Potenz zählt. $-2x^3 + 100x^2$ geht für $x \to \infty$ gegen $-\infty$, weil $-2x^3$ entscheidet.
- Gebrochenrationale Funktion: Klammere im Zähler und im Nenner die höchste Potenz von $x$ aus und kürze. Brüche wie $\frac{3}{x}$ oder $\frac{5}{x^2}$ gehen dann gegen 0.
- e-Funktion: $e^{x}$ wächst schneller als jede Potenz von $x$, $e^{-x}$ fällt schneller gegen 0 als jede Potenz wächst.
Beispiel: höchste Potenz ausklammern
\[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x}{2x^2 + 7} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2\left(3 - \frac{5}{x}\right)}{x^2\left(2 + \frac{7}{x^2}\right)} = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}\]
Merkregel: Bei gleichem Grad ist der Grenzwert der Quotient der Zahlen vor den höchsten Potenzen. Ist der Nennergrad größer, ist der Grenzwert 0. Ist der Zählergrad größer, geht der Bruch gegen $\pm\infty$. Mehr dazu unter Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen.
Grenzwerte an einer Stelle x₀
Bei $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ nähert sich $x$ der Stelle $x_0$ von beiden Seiten. Von links schreibt man $x \to x_0^{-}$, von rechts $x \to x_0^{+}$. Der Grenzwert existiert nur, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
- Einsetzen: Ist $f$ an der Stelle definiert und „harmlos“ (Polynom, e-Funktion …), ist der Grenzwert einfach $f(x_0)$.
- „0/0“ – kürzen: Kommt beim Einsetzen $\frac{0}{0}$ heraus, haben Zähler und Nenner den Faktor $(x - x_0)$. Faktorisieren, kürzen, dann einsetzen.
- „Zahl/0“ – Polstelle: Dann geht $f$ gegen $\pm\infty$. Das Vorzeichen bestimmst Du mit einer Testzahl knapp links bzw. rechts von $x_0$.
Beispiel: 0/0 durch Kürzen auflösen
\[\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6\]
Beispiel: Testeinsetzungen
$f(x) = \frac{2}{x - 1}$ an der Stelle $x_0 = 1$:
| $x$ | 0,9 | 0,99 | 0,999 | 1,001 | 1,01 | 1,1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | −20 | −200 | −2000 | 2000 | 200 | 20 |
Also $\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty$ und $\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$ – an der Stelle 1 gibt es keinen Grenzwert, sondern eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Der Differenzialquotient ist übrigens auch ein Grenzwert: Bei der h-Methode berechnest Du $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ – genau mit dem Trick „ausmultiplizieren, $h$ kürzen, dann $h = 0$ setzen“.
Rechenregeln und wichtige Grenzwerte
Existieren $\lim f(x) = a$ und $\lim g(x) = b$, dann gilt: $\lim (f \pm g) = a \pm b$, $\lim (f \cdot g) = a \cdot b$ und $\lim \frac{f}{g} = \frac{a}{b}$ (falls $b \neq 0$). Diese Grenzwerte solltest Du kennen:
| Grenzwert | Wert | Merkhilfe |
|---|---|---|
| $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n}$ ($n \geq 1$) | $0$ | großer Nenner, kleiner Bruch |
| $\lim\limits_{x \to \infty} x^n e^{-x}$ | $0$ | „die e-Funktion gewinnt“ |
| $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^n}$ | $\infty$ | „die e-Funktion gewinnt“ |
| $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}$ | $0$ | ln wächst langsamer als jede Potenz |
| $\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln(x)$ | $0$ | die Potenz gewinnt |
| $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ | $1$ | nahe 0 ist $\sin(x) \approx x$ |
| $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$ | $1$ | Steigung von $e^x$ bei 0 |
| $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ | $e$ | Definition der Eulerschen Zahl |
Die Regel von L’Hospital
Führt das Einsetzen auf einen unbestimmten Ausdruck $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$, darfst Du Zähler und Nenner getrennt ableiten (nicht die Quotientenregel!):
Beispiele
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$: Einsetzen gibt $\frac{0}{0}$. Ableiten: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{3e^{3x}}{1} = 3$.
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^{x}}$: $\frac{\infty}{\infty}$, zweimal ableiten: $\frac{2x}{e^x}$, dann $\frac{2}{e^x} \to 0$.
$\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = 1$.
Achtung
L’Hospital nur bei $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ anwenden. Bei $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ einfach einsetzen – „Ableiten“ ergäbe fälschlich 1. Ausdrücke wie $0 \cdot \infty$ (etwa $x \ln x$) erst in einen Bruch umschreiben: $x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$.
Stetigkeit
Anschaulich ist eine Funktion stetig, wenn man ihren Graphen ohne Absetzen des Stifts zeichnen kann. Genau: $f$ ist an der Stelle $x_0$ stetig, wenn
Polynome, e-Funktion, Sinus und Kosinus sind überall stetig, gebrochenrationale Funktionen in ihrem ganzen Definitionsbereich. Unstetigkeiten entstehen typischerweise bei abschnittsweise definierten Funktionen – zum Beispiel durch einen Sprung:
$f(x) = x + 1$ für $x \leq 1$ und $f(x) = 4{,}5 - 0{,}5x$ für $x > 1$: Links geht es gegen 2, rechts gegen 4 – ein Sprung, also unstetig bei $x = 1$.
Beispiel: Parameter so wählen, dass f stetig ist
$f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{für } x \leq 2 \\ 3x - 1 & \text{für } x > 2 \end{cases}$
Linker Grenzwert bei 2: $4 + a$. Rechter Grenzwert: $3 \cdot 2 - 1 = 5$. Stetig, wenn $4 + a = 5$, also $a = 1$.
Differenzierbarkeit
Eine Funktion ist an der Stelle $x_0$ differenzierbar, wenn es dort eine eindeutige Tangente gibt – der Graph hat keinen Knick. Dafür muss $f$ stetig sein und die Steigung von links muss mit der Steigung von rechts übereinstimmen.
Die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ ist bei 0 stetig, aber nicht differenzierbar: Von links ist die Steigung $-1$, von rechts $+1$.
Merke: Übergang ohne Sprung und ohne Knick
Zwei Funktionsteile $g$ (links) und $h$ (rechts) schließen an der Stelle $x_0$ knickfrei an, wenn
1. $g(x_0) = h(x_0)$ (kein Sprung – stetig) und 2. $g'(x_0) = h'(x_0)$ (gleiche Steigung – differenzierbar).
Diese zwei Bedingungen brauchst Du bei Trassierungs- und Übergangsaufgaben im Abitur, oft zusammen mit Steckbriefaufgaben.
Beispiel
$g(x) = x^2$ für $x \leq 1$ und $h(x) = mx + b$ für $x > 1$. Knickfrei bei 1: $g(1) = 1 = m + b$ und $g'(1) = 2 = m$. Also $m = 2$, $b = -1$: Die Gerade ist die Tangente an die Parabel im Punkt $(1 \mid 1)$.
Online üben
Stufe 2: x gegen x₀ (Kürzen, Polstellen, h-Methode)
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Aufgabe 1
\(\lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3}\)\(\lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3} = 27\)
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Aufgabe 2
\(\lim_{x \to 1} \left(x^{2} + 6x - 6\right)\)\(\lim_{x \to 1} \left(x^{2} + 6x - 6\right) = 1\)
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Aufgabe 3
\(\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^{2} - 4}\)\(\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \frac{1}{4}\)
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Aufgabe 4
\(\lim_{x \to 2} \left(3x^{2} + 4x - 9\right)\)\(\lim_{x \to 2} \left(3x^{2} + 4x - 9\right) = 11\)
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Aufgabe 5
\(\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 6x + 8}{x - 4}\)\(\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 6x + 8}{x - 4} = 2\)
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Aufgabe 6
\(\lim_{x \to -6} \frac{x + 6}{x^{2} - 36}\)\(\lim_{x \to -6} \frac{x + 6}{x^{2} - 36} = -\frac{1}{12}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Unbeschränkte Grenzwerte gibst Du als „plus unendlich“ oder „minus unendlich“ ein.
Arbeitsblatt: Grenzwerte berechnen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Grenzwerte an Definitionslücken und Asymptoten berechnet der Rechner für gebrochenrationale Funktionen, Grenzwerte von Folgen der Folgen-Rechner. Grundlagen zur Ableitung: Ableitung verstehen.
Weiterlesen: Grenzwert (Funktion), Stetige Funktion bei Wikipedia