Integrationsmethoden: Substitution und partielle Integration
Nicht jede Funktion lässt sich mit den Grundregeln integrieren. Für verkettete Funktionen gibt es die Substitution (die Kettenregel rückwärts), für Produkte die partielle Integration (die Produktregel rückwärts). Hier lernst Du, wann Du welche Methode nimmst und wie Du Schritt für Schritt vorgehst.
Welche Methode passt?
| So sieht der Integrand aus | Beispiel | Methode |
|---|---|---|
| Funktion von $ax + b$ | $(3x - 1)^4$, $e^{2x + 1}$, $\sin(5x)$ | lineare Substitution |
| innere Funktion und ihre Ableitung als Faktor | $2x\,(x^2 + 1)^3$, $x\,e^{x^2}$ | Substitution $u = g(x)$ |
| Bruch „Ableitung des Nenners durch Nenner“ | $\frac{2x + 3}{x^2 + 3x}$ | $\ln|g(x)|$ |
| Produkt aus $x$ (oder $x^n$) und $e$, $\sin$, $\cos$, $\ln$ | $x\,e^{x}$, $x \cos(x)$, $x^2 \ln(x)$ | partielle Integration |
| Bruch aus Polynomen | $\frac{5x - 4}{x^2 - x - 2}$ | Partialbruchzerlegung |
Lineare Substitution
Steht in einer bekannten Funktion statt $x$ ein linearer Term $ax + b$, integrierst Du die äußere Funktion ganz normal und teilst durch $a$:
Beispiele
$\int (3x - 1)^4\,dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}(3x - 1)^5 + C = \frac{1}{15}(3x - 1)^5 + C$
$\int e^{2x + 1}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x + 1} + C \qquad \int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x) + C \qquad \int \frac{1}{2x + 5}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2x + 5| + C$
Warum? Leite $\frac{1}{a}F(ax + b)$ mit der Kettenregel ab: Die innere Ableitung $a$ kürzt sich mit $\frac{1}{a}$ weg, übrig bleibt $f(ax + b)$.
Integration durch Substitution
Die allgemeine Substitution hilft, wenn im Integranden eine innere Funktion $g(x)$ und deren Ableitung $g'(x)$ (bis auf einen Zahlfaktor) als Faktor stehen:
- Substituieren: $u = g(x)$ wählen (meist der Term in der Klammer, im Exponenten oder im Nenner).
- dx ersetzen: $\frac{du}{dx} = g'(x)$, also $dx = \frac{du}{g'(x)}$.
- Kürzen: Alle $x$ müssen verschwinden – dann ist die Substitution geglückt.
- Integrieren nach $u$ und zurücksubstituieren.
Beispiel 1: $\int 2x\,(x^2 + 1)^3\,dx$
$u = x^2 + 1$, $\frac{du}{dx} = 2x$, also $dx = \frac{du}{2x}$:
\[\int 2x \cdot u^3 \cdot \frac{du}{2x} = \int u^3\,du = \frac{1}{4}u^4 + C = \frac{1}{4}(x^2 + 1)^4 + C\]
Beispiel 2: $\int x\,e^{x^2}\,dx$
$u = x^2$, $dx = \frac{du}{2x}$: $\int x\,e^{u}\,\frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$. Der Faktor $\frac{1}{2}$ gleicht aus, dass im Integranden nur $x$ statt $2x$ steht.
Sonderfall: Ableitung durch Funktion
Beispiel: $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\,dx = \ln|x^2 + 3x| + C$ – der Zähler ist genau die Ableitung des Nenners.
Bestimmte Integrale: Grenzen mitsubstituieren
Bei $\int_0^1 2x\,(x^2 + 1)^3\,dx$ kannst Du die Grenzen gleich umrechnen: $x = 0 \Rightarrow u = 1$ und $x = 1 \Rightarrow u = 2$. Dann ist $\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{1}{4}u^4\right]_1^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$ – ohne Rücksubstitution.
Partielle Integration
Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel. Sie wandelt ein schwieriges Integral in ein (hoffentlich) leichteres um:
Die Kunst ist die richtige Wahl: $u$ soll beim Ableiten einfacher werden, $v'$ muss sich leicht integrieren lassen. Eine Merkhilfe für die Wahl von $u$ ist LIATE – was weiter vorne steht, wird zuerst als $u$ gewählt:
| L | I | A | T | E |
|---|---|---|---|---|
| Logarithmus $\ln x$ | inverse Winkelfunktionen | algebraisch: $x$, $x^2$, … | trigonometrisch: $\sin$, $\cos$ | Exponentialfunktion $e^x$ |
Beispiel 1: $\int x\,e^{x}\,dx$
$u = x$ (algebraisch vor exponentiell), $v' = e^x$. Dann $u' = 1$, $v = e^x$:
\[\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int 1 \cdot e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} + C = (x - 1)\,e^{x} + C\]
Beispiel 2: $\int x \cos(x)\,dx$
$u = x$, $v' = \cos(x)$, also $u' = 1$, $v = \sin(x)$: $\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - \int \sin(x)\,dx = x\sin(x) + \cos(x) + C$.
Beispiel 3: $\int \ln(x)\,dx$ – mit dem Trick „mal 1“
Schreibe $\ln(x) = 1 \cdot \ln(x)$ mit $u = \ln(x)$ und $v' = 1$. Dann $u' = \frac{1}{x}$, $v = x$:
\[\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int \frac{1}{x} \cdot x\,dx = x\ln(x) - x + C\]
Beispiel 4: zweimal partiell – $\int x^2 e^{x}\,dx$
Erst $u = x^2$: $\int x^2 e^{x}\,dx = x^2 e^{x} - \int 2x\,e^{x}\,dx$. Das neue Integral noch einmal partiell (siehe Beispiel 1): $\int 2x\,e^{x}\,dx = 2(x - 1)e^{x}$. Zusammen:
\[\int x^2 e^{x}\,dx = (x^2 - 2x + 2)\,e^{x} + C\]
Bei ex·sin(x) im Kreis integrieren
Bei $\int e^{x}\sin(x)\,dx$ landest Du nach zweimaliger partieller Integration wieder beim Ausgangsintegral. Löse die Gleichung dann nach dem Integral auf: $\int e^{x}\sin(x)\,dx = \frac{1}{2}e^{x}\big(\sin(x) - \cos(x)\big) + C$.
Probe durch Ableiten
Jede Stammfunktion kannst Du kontrollieren, indem Du sie ableitest – es muss wieder der Integrand herauskommen. Beispiel: $\big((x - 1)\,e^{x}\big)' = 1 \cdot e^{x} + (x - 1)\,e^{x} = x\,e^{x}$ ✓ (Produktregel). Für Ableitungen mit Rechenweg gibt es den Ableitungsrechner.
Typische Fehler
- Bei der linearen Substitution durch $a$ teilen vergessen: $\int e^{3x}\,dx \neq e^{3x} + C$.
- Substituiert, obwohl die innere Ableitung fehlt: $\int e^{x^2}\,dx$ lässt sich so nicht lösen (und überhaupt nicht elementar).
- Bei der partiellen Integration $u$ und $v'$ ungünstig gewählt – z. B. $u = e^{x}$ und $v' = x$ macht das Integral komplizierter.
- Das Minuszeichen vor dem neuen Integral nicht auf alle Summanden angewendet.
- „+ C“ am Ende vergessen.
Online üben
Stufe 3: partielle Integration
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Aufgabe 1
\(\int -x^{2}\,e^{x}\,dx\)\(\int -x^{2}\,e^{x}\,dx = (-x^{2} + 2x - 2)\,e^{x} + C\)
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Aufgabe 2
\(\int x\,e^{2x}\,dx\)\(\int x\,e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C\)
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Aufgabe 3
\(\int 4\ln(x)\,dx\)\(\int 4\ln(x)\,dx = 4(x\ln(x) - x) + C\)
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Aufgabe 4
\(\int x\,\sin(x)\,dx\)\(\int x\,\sin(x)\,dx = -x\cos(x) + \sin(x) + C\)
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Aufgabe 5
\(\int x\,\cos(2x)\,dx\)\(\int x\,\cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C\)
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Aufgabe 6
\(\int x\,e^{3x}\,dx\)\(\int x\,e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Schreibweise: $e^{2x}$ als e^(2x), $\ln|x|$ als ln(abs(x)), $\sin^3(x)$ als sin(x)^3. Das „+ C“ darfst Du weglassen.
Arbeitsblatt: Integrationsmethoden: Substitution und partielle Integration
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Grundlagen: Integralrechnung. Bestimmte Integrale und Flächen für Polynome berechnet der Integralrechner. Anwendung bei Volumen: Rotationskörper.
Weiterlesen: Integration durch Substitution, Partielle Integration bei Wikipedia