Rotationskörper
Dreht sich der Graph einer Funktion um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper – eine Vase, ein Kegel, eine Kugel oder eine Schüssel. Sein Volumen berechnest Du mit einem Integral. Außerdem lernst Du hier uneigentliche Integrale kennen, bei denen eine Grenze unendlich ist.
Die Volumenformel
Zerschneide den Körper in viele dünne Scheiben. Eine Scheibe an der Stelle $x$ ist ein flacher Zylinder mit Radius $f(x)$ und Dicke $\Delta x$, ihr Volumen ist $\pi \cdot f(x)^2 \cdot \Delta x$. Summiert man alle Scheiben und lässt die Dicke gegen 0 gehen, wird daraus ein Integral:
Achtung
Erst quadrieren, dann integrieren – und zwar den ganzen Funktionsterm: $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$, nicht $2x^2 + 1$. Das $\pi$ steht vor dem Integral und kommt am Ende dazu. Das Vorzeichen von $f$ spielt keine Rolle, weil $f(x)^2 \geq 0$ ist.
Beispiele
Kegel: $f(x) = \frac{r}{h}x$ auf $[0;\ h]$
\[V = \pi \int_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \pi \frac{r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]
Genau die bekannte Formel für das Kegelvolumen. Zahlenbeispiel: $f(x) = 2x$ auf $[0;\ 3]$ ergibt $V = \pi \int_0^3 4x^2\,dx = \pi \left[\frac{4}{3}x^3\right]_0^3 = 36\pi \approx 113{,}1$.
Kugel: $f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$ auf $[-r;\ r]$
Der Graph ist ein Halbkreis. Wegen $f(x)^2 = r^2 - x^2$ verschwindet die Wurzel:
\[V = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2)\,dx = \pi \left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi r^3\]
Paraboloid (Schüssel): $f(x) = \sqrt{x}$ auf $[0;\ 4]$
$V = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi \approx 25{,}13$
Mit e-Funktion: $f(x) = e^{0{,}5x}$ auf $[0;\ 2]$
$f(x)^2 = e^{x}$, also $V = \pi \int_0^2 e^{x}\,dx = \pi\,(e^2 - 1) \approx 20{,}07$.
Hohlkörper zwischen zwei Graphen
Rotiert die Fläche zwischen zwei Graphen $f$ (außen) und $g$ (innen), entsteht ein Körper mit Hohlraum. Du ziehst das innere Volumen vom äußeren ab:
Beispiel: Zwischen $f(x) = x$ und $g(x) = x^2$ auf $[0;\ 1]$: $V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2}{15}\pi$. Achtung: Es ist $\pi\int(f^2 - g^2)$, nicht $\pi\int(f - g)^2$. Die Grenzen sind oft die Schnittstellen – wie bei der Fläche zwischen zwei Graphen.
Uneigentliche Integrale
Manchmal reicht eine Fläche bis ins Unendliche oder die Funktion wird an einer Grenze unendlich groß. Dann rechnest Du zuerst mit einer festen Grenze $b$ und lässt diese anschließend gegen unendlich (bzw. gegen die kritische Stelle) laufen:
Existiert dieser Grenzwert, heißt das Integral konvergent, sonst divergent.
Konvergent: $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$
\[\int_1^{b} \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = 1 - \frac{1}{b} \;\xrightarrow{\,b \to \infty\,}\; 1\]
Die unendlich lange Fläche unter $\frac{1}{x^2}$ hat den endlichen Inhalt 1.
Divergent: $\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx$
$\int_1^{b} \frac{1}{x}\,dx = \ln(b) \to \infty$. Obwohl $\frac{1}{x}$ gegen 0 geht, ist die Fläche unendlich groß.
Unbeschränkte Funktion: $\int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
Bei $x = 0$ ist die Funktion nicht definiert. Rechne mit der Untergrenze $a$: $\left[2\sqrt{x}\right]_a^1 = 2 - 2\sqrt{a} \to 2$ für $a \to 0^{+}$.
Merke für Potenzen
$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx$ ist konvergent für $p > 1$ (Wert $\frac{1}{p - 1}$) und divergent für $p \leq 1$. $\int_0^{\infty} e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ für $k > 0$.
Gabriels Horn
Lässt man $f(x) = \frac{1}{x}$ auf $[1;\ \infty)$ um die x-Achse rotieren, entsteht ein unendlich langer Trichter. Sein Volumen ist endlich:
Die Oberfläche ist dagegen unendlich groß (sie ist mindestens so groß wie $2\pi \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$, und das divergiert). Man könnte das Horn also mit endlich viel Farbe füllen, aber nie von innen anstreichen – ein berühmtes Paradoxon.
Online üben
Stufe 3: uneigentliche Integrale
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Aufgabe 1
\(\int_{0}^{\infty} 5e^{-3x}\,dx\)\(\lim_{b \to \infty} \left[-\frac{5}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{b} = \frac{5}{3}\)
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Aufgabe 2
\(\int_{0}^{\infty} 6e^{-4x}\,dx\)\(\lim_{b \to \infty} \left[-\frac{6}{4}e^{-4x}\right]_{0}^{b} = \frac{3}{2}\)
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Aufgabe 3
\(\int_{0}^{16} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)\(\lim_{a \to 0^{+}} \left[2\sqrt{x}\right]_{a}^{16} = 8\)
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Aufgabe 4
\(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx:\ \text{konvergent oder divergent?}\)\(\text{konvergent}:\ 2\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = e^{-2x}\text{ auf } [0;\,\infty):\ \text{Volumen}\)\(V =\)\(V = \pi \int_{0}^{\infty} e^{-4x}\,dx = \frac{1}{4}\pi \approx 0{,}79\)
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Aufgabe 6
\(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}}\,dx:\ \text{konvergent oder divergent?}\)\(\text{konvergent}:\ 2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Volumen kannst Du exakt (z. B. 36pi) oder gerundet (113,1) eingeben.
Arbeitsblatt: Rotationskörper und uneigentliche Integrale
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Grundlagen zum Integrieren: Integralrechnung und Integrationsmethoden. Volumen von Prismen, Zylindern und Kegeln ohne Integral: Körper berechnen.
Weiterlesen: Rotationskörper, Uneigentliches Integral bei Wikipedia