Funktionen verschieben, strecken und spiegeln
Kennst Du den Graphen einer Grundfunktion wie $x^2$ oder $\sqrt{x}$, kannst Du viele andere Graphen ohne Wertetabelle skizzieren: Sie entstehen durch Verschieben, Strecken, Stauchen und Spiegeln. Alle vier Bewegungen stecken in einer einzigen Formel – probiere sie mit den Schiebereglern aus.
Ausprobieren: Graph mit Schiebereglern verändern
f(x) = a · g(b · (x − c)) + d
Für die Schieberegler wird JavaScript benötigt. Die Grafik zeigt $g(x) = x^2$ (gestrichelt) und $f(x) = (x - 2)^2 + 1$.
Der rote Punkt zeigt, wohin der „Ankerpunkt“ der Grundfunktion wandert – bei $x^2$ der Scheitelpunkt, bei $e^x$ der Punkt $(0 \mid 1)$. Bei $\frac{1}{x}$ und $e^x$ zeigen gestrichelte Linien die Asymptoten.
Was die vier Parameter bewirken
| Parameter | Wirkung auf den Graphen | Beispiel mit $g(x) = x^2$ |
|---|---|---|
| $d$ (außen addiert) | $d > 0$: nach oben, $d < 0$: nach unten verschieben | $x^2 + 3$: 3 nach oben |
| $c$ (in der Klammer) | $c > 0$: nach rechts, $c < 0$: nach links verschieben | $(x - 2)^2$: 2 nach rechts |
| $a$ (außen multipliziert) | $|a| > 1$: strecken, $|a| < 1$: stauchen (in y-Richtung); $a < 0$: an der x-Achse spiegeln | $-3x^2$: gespiegelt, schmaler |
| $b$ (vor dem x) | $|b| > 1$: stauchen, $|b| < 1$: strecken (in x-Richtung, Faktor $\frac{1}{|b|}$); $b < 0$: an der y-Achse spiegeln | $\sin(2x)$: halbe Periode |
Verschieben in y-Richtung: + d
Wird zum ganzen Funktionsterm eine Zahl $d$ addiert, wird jeder Funktionswert um $d$ größer. Der Graph wandert um $d$ nach oben (bei negativem $d$ nach unten). Die Form bleibt gleich.
Verschieben in x-Richtung: x − c
Ersetzt man $x$ durch $x - c$, wird der Graph um $c$ nach rechts verschoben. Das wirkt zunächst verkehrt herum, ist aber logisch: Der Scheitel von $(x - 2)^2$ liegt dort, wo die Klammer 0 wird – also bei $x = 2$, rechts vom Ursprung.
Vorzeichen-Falle
$(x - 2)^2$: 2 nach rechts. $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$: 3 nach links. In der Klammer gilt also immer „umgekehrtes Vorzeichen“, außerhalb der Klammer (bei $d$) nicht.
Strecken, Stauchen und Spiegeln in y-Richtung: a ·
Ein Faktor $a$ vor der Funktion multipliziert alle Funktionswerte. Bei $|a| > 1$ wird der Graph in y-Richtung gestreckt (er wirkt schmaler), bei $0 < |a| < 1$ gestaucht (breiter). Ist $a$ negativ, wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. Punkte auf der x-Achse bleiben dabei, wo sie sind.
Strecken und Spiegeln in x-Richtung: b ·
Steht ein Faktor $b$ direkt vor dem $x$, wird der Graph in x-Richtung mit dem Faktor $\frac{1}{b}$ verändert: $\sin(2x)$ schwingt doppelt so schnell wie $\sin(x)$, die Periode halbiert sich auf $\pi$. Ein negatives $b$ spiegelt an der y-Achse: $e^{-x}$ ist das Spiegelbild von $e^x$. Mehr dazu bei der Sinusfunktion.
Alles zusammen: die richtige Reihenfolge
Merke: So entsteht $f(x) = a \cdot g\big(b(x - c)\big) + d$ aus $g$
- mit $b$ in x-Richtung strecken bzw. stauchen (bei $b < 0$ an der y-Achse spiegeln),
- um $c$ nach rechts verschieben,
- mit $a$ in y-Richtung strecken bzw. stauchen (bei $a < 0$ an der x-Achse spiegeln),
- um $d$ nach oben verschieben.
Wichtig ist vor allem: erst strecken und spiegeln, dann in y-Richtung verschieben. Sonst würde das Strecken auch die Verschiebung $d$ verändern.
Tipp: erst ausklammern
Bei $g(2x - 4)$ ist der Graph nicht um 4 verschoben! Klammere den Faktor vor $x$ aus: $2x - 4 = 2(x - 2)$. Also ist $b = 2$ und $c = 2$ – der Graph ist um 2 nach rechts verschoben.
Beispiele
1. Graph beschreiben und skizzieren
$f(x) = -2(x + 1)^2 + 3$ entsteht aus der Normalparabel: an der x-Achse gespiegelt, mit Faktor 2 gestreckt, um 1 nach links und 3 nach oben verschoben. Der Scheitelpunkt ist $S(-1 \mid 3)$, die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
2. Funktionsterm aufstellen
Der Graph von $g(x) = \sqrt{x}$ wird an der x-Achse gespiegelt, danach um 3 nach links und 2 nach unten verschoben. Dann ist $a = -1$, $c = -3$, $d = -2$:
$f(x) = -\sqrt{x + 3} - 2$. Der Graph beginnt im Punkt $(-3 \mid -2)$ und fällt nach rechts.
3. Asymptoten verschieben sich mit
$f(x) = \frac{1}{x - 1} + 2$ ist die Hyperbel $\frac{1}{x}$, um 1 nach rechts und 2 nach oben verschoben. Ihre Asymptoten wandern mit: senkrecht $x = 1$, waagerecht $y = 2$. Bei $f(x) = e^x - 4$ liegt die waagerechte Asymptote bei $y = -4$.
Typische Fehler
- $(x - 3)^2$ als „3 nach links“ lesen – richtig ist 3 nach rechts.
- $x^2 - 3$ und $(x - 3)^2$ verwechseln: Das eine verschiebt nach unten, das andere nach rechts.
- Bei $-x^2 + 4$ zuerst verschieben und dann spiegeln – dann käme $-(x^2 + 4)$ heraus. Erst spiegeln, dann verschieben.
- Bei $g(2x - 6)$ die Verschiebung 6 ablesen, statt erst $2(x - 3)$ auszuklammern (Verschiebung 3).
Online üben
Stufe 1: Verschiebung ablesen und als (3|-2) eingeben (3 nach rechts, 2 nach unten). Stufe 2: Funktionsterm aufstellen. Stufe 3: Parameter ablesen und als a; b; c; d eingeben.
Stufe 2: Term aufstellen
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Aufgabe 1
\(g(x) = x^{2}:\quad \text{Faktor } \frac{1}{2}\text{, }\text{2 nach rechts}\)\(f(x) = \frac{1}{2}\left(x - 2\right)^{2}\)
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Aufgabe 2
\(g(x) = |x|:\quad \text{gespiegelt}\text{, }\text{6 nach rechts}\)\(f(x) = -\left|x - 6\right|\)
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Aufgabe 3
\(g(x) = \sqrt{x}:\quad \text{gespiegelt}\text{, }\text{Faktor 3}\text{, }\text{6 nach unten}\)\(f(x) = -3\sqrt{x} - 6\)
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Aufgabe 4
\(g(x) = \frac{1}{x}:\quad \text{Faktor 2}\text{, }\text{5 nach links, 3 nach oben}\)\(f(x) = \frac{2}{x + 5} + 3\)
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Aufgabe 5
\(g(x) = \frac{1}{x}:\quad \text{Faktor 3}\text{, }\text{2 nach links, 6 nach unten}\)\(f(x) = \frac{3}{x + 2} - 6\)
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Aufgabe 6
\(g(x) = x^{2}:\quad \text{gespiegelt}\text{, }\text{Faktor 3}\text{, }\text{1 nach links, 5 nach unten}\)\(f(x) = -3\left(x + 1\right)^{2} - 5\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Funktionen verschieben, strecken und spiegeln
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–11.
Die Scheitelpunktform ist der wichtigste Anwendungsfall: Mehr dazu bei den quadratischen Funktionen und im Scheitelpunkt-Rechner. Eigene Funktionen zeichnest Du im Funktionsplotter; die Grundformen findest Du bei den Potenzfunktionen.
Weiterlesen: Funktionsgraph bei Wikipedia