Ganzrationale Funktionen
Addiert man mehrere Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, entsteht eine ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion). Geraden und Parabeln gehören dazu – und viele Funktionen, die Dir in der Oberstufe bei der Kurvendiskussion begegnen. Schon am Funktionsterm kannst Du ablesen, wie der Graph ungefähr aussieht.
Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied
- Grad $n$: der höchste Exponent von $x$.
- Leitkoeffizient $a_n$: die Zahl vor der höchsten Potenz.
- Absolutglied $a_0$: der Summand ohne $x$. Er ist der y-Achsenabschnitt, denn $f(0) = a_0$.
Beispiel
$f(x) = 3x^2 - 2x^5 + 7 - x$: Ordne zuerst nach Potenzen: $f(x) = -2x^5 + 3x^2 - x + 7$. Grad $n = 5$, Leitkoeffizient $a_5 = -2$, y-Achsenabschnitt $f(0) = 7$.
Bei einem Produkt wie $f(x) = x^2(3 - 2x)$ multiplizierst Du die höchsten Potenzen der Faktoren: $x^2 \cdot (-2x) = -2x^3$. Also Grad 3 und Leitkoeffizient $-2$ – ganz ohne alles auszumultiplizieren.
Verhalten im Unendlichen
Für sehr große Beträge von $x$ ist der Summand mit der höchsten Potenz so viel größer als alle anderen, dass er allein den Verlauf bestimmt. Es kommt also nur auf zwei Dinge an: Ist der Grad gerade oder ungerade, und ist der Leitkoeffizient positiv oder negativ?
$x^4 - 3x^2$
$-x^4 + 2x^2 + 1$
$x^3 - 3x$
$-x^3 + 2x$
| $a_n > 0$ | $a_n < 0$ | |
|---|---|---|
| Grad gerade | $x \to \pm\infty$: $f(x) \to +\infty$ (II → I) | $x \to \pm\infty$: $f(x) \to -\infty$ (III → IV) |
| Grad ungerade | $x \to -\infty$: $f(x) \to -\infty$, $x \to +\infty$: $f(x) \to +\infty$ (III → I) | $x \to -\infty$: $f(x) \to +\infty$, $x \to +\infty$: $f(x) \to -\infty$ (II → IV) |
Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn gezählt: I oben rechts, II oben links, III unten links, IV unten rechts. Daraus folgt auch: Eine Funktion mit ungeradem Grad hat immer mindestens eine Nullstelle, weil sie von unten nach oben (oder umgekehrt) laufen muss.
Symmetrie
Merke
- Kommen nur gerade Exponenten vor (dazu zählt auch die Zahl ohne $x$, also $x^0$), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$.
- Kommen nur ungerade Exponenten vor (also auch kein Absolutglied), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$.
- Kommen gerade und ungerade Exponenten gemischt vor, liegt keine dieser beiden Symmetrien vor.
Beispiele
$f(x) = 2x^4 - x^2 + 5$: Exponenten 4, 2, 0 – achsensymmetrisch.
$g(x) = x^5 - 4x^3 + x$: Exponenten 5, 3, 1 – punktsymmetrisch.
$h(x) = x^3 + 1$: Exponenten 3 und 0 – keine Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung.
$k(x) = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$: erst ausmultiplizieren – achsensymmetrisch.
Nullstellen und ihre Vielfachheit
Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen. Besonders praktisch ist die Linearfaktorform, denn dort kannst Du die Nullstellen direkt ablesen (Satz vom Nullprodukt):
Der Exponent eines Faktors heißt Vielfachheit der Nullstelle. Sie verrät, wie der Graph die x-Achse trifft:
| Vielfachheit | Verhalten des Graphen | Vorzeichenwechsel? |
|---|---|---|
| einfach: $(x - x_0)$ | schneidet die x-Achse | ja |
| doppelt: $(x - x_0)^2$ | berührt die x-Achse (dort liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt) | nein |
| dreifach: $(x - x_0)^3$ | schneidet die x-Achse und ist dort ganz flach (Sattelpunkt) | ja |
Graph skizzieren in fünf Schritten
Am Beispiel $f(x) = \tfrac{1}{4}(x + 2)(x - 1)^2(x - 3)$:
- Grad und Leitkoeffizient: $\tfrac{1}{4} \cdot x \cdot x^2 \cdot x = \tfrac{1}{4}x^4$ – Grad 4, $a_4 > 0$, also Verlauf von II nach I.
- Nullstellen mit Vielfachheit eintragen: $-2$ (einfach), $1$ (doppelt), $3$ (einfach).
- y-Achsenabschnitt: $f(0) = \tfrac{1}{4} \cdot 2 \cdot 1 \cdot (-3) = -1{,}5$.
- Verbinden: Von links oben kommend bei $-2$ die x-Achse schneiden, durch $(0 \mid -1{,}5)$, bei $1$ die x-Achse von unten berühren und wieder nach unten, bei $3$ schneiden und rechts nach oben.
- Kontrolle: Symmetrie? Hier gemischte Exponenten – keine. Ein, zwei Funktionswerte zur Probe helfen, zum Beispiel $f(2) = \tfrac{1}{4} \cdot 4 \cdot 1 \cdot (-1) = -1$.
Ausblick: Extrem- und Wendepunkte
Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n - 1$ Extrempunkte und höchstens $n - 2$ Wendepunkte. Genau berechnen kannst Du sie mit Ableitungen – wie das geht, zeigt die Kurvendiskussion.
Ist die Funktion nicht in Linearfaktorform gegeben, findest Du die Nullstellen durch Ausklammern, Substitution oder Polynomdivision – alle Verfahren stehen unter Nullstellen berechnen, der Nullstellenrechner zeigt den Rechenweg.
Typische Fehler
- Den Leitkoeffizienten am ersten Summanden ablesen, obwohl der Term nicht nach Potenzen geordnet ist.
- Bei $x^2(3 - 2x)$ den Leitkoeffizienten 3 statt $-2$ angeben.
- Das Absolutglied bei der Symmetrie vergessen: $x^3 + 2$ ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Aus $(x + 4)$ die Nullstelle $4$ statt $-4$ ablesen.
- Eine doppelte Nullstelle als Schnittpunkt zeichnen – dort wird die x-Achse nur berührt.
Online üben
Stufe 1: Grad, Leitkoeffizient und y-Achsenabschnitt als n; a_n; f(0). Stufe 2: Verhalten im Unendlichen als Quadranten, z. B. 3; 1. Stufe 3: Symmetrie (achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder keine). Stufe 4: Nullstellen aus der Linearfaktorform.
Stufe 2: Verhalten im Unendlichen
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Aufgabe 1
\(f(x) = x^{5} + 2x^{4} + 8x^{3} + 7\)\(\text{von III nach I}\ (x \to -\infty:\ f(x) \to -\infty;\ x \to +\infty:\ f(x) \to +\infty)\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = -x + 3x^{2} + x^{3}\)\(\text{von III nach I}\ (x \to -\infty:\ f(x) \to -\infty;\ x \to +\infty:\ f(x) \to +\infty)\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = -3x^{6} - 8x^{5} + 1\)\(\text{von III nach IV}\ (x \to -\infty:\ f(x) \to -\infty;\ x \to +\infty:\ f(x) \to -\infty)\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = 3x^{3} - 8x - 8\)\(\text{von III nach I}\ (x \to -\infty:\ f(x) \to -\infty;\ x \to +\infty:\ f(x) \to +\infty)\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = -x^{3} + 4x^{2}\)\(\text{von II nach IV}\ (x \to -\infty:\ f(x) \to +\infty;\ x \to +\infty:\ f(x) \to -\infty)\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = 2x^{4} + 5x^{6}\)\(\text{von II nach I}\ (x \to -\infty:\ f(x) \to +\infty;\ x \to +\infty:\ f(x) \to +\infty)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Ganzrationale Funktionen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–11.
Zeichne das Beispiel im Funktionsplotter nach oder lass Dir die komplette Untersuchung vom Kurvendiskussion-Rechner zeigen. Wie man eine ganzrationale Funktion aus Bedingungen aufstellt, zeigen die Steckbriefaufgaben.
Weiterlesen: Ganzrationale Funktion bei Wikipedia