Potenzfunktionen
Bei einer Potenzfunktion steht die Variable in der Basis und der Exponent ist eine feste Zahl: $f(x) = a \cdot x^n$. Ob $n$ gerade, ungerade, negativ oder ein Bruch ist, entscheidet über die Form des Graphen. Hier lernst Du alle vier Typen kennen – mit Symmetrie, Verlauf und gemeinsamen Punkten.
Nicht verwechseln: Bei der Potenzfunktion $x^2$ steht die Variable unten, bei der Exponentialfunktion $2^x$ steht sie im Exponenten. Die Rechenregeln für Potenzen findest Du unter Potenzen und Potenzgesetze.
Natürliche Exponenten: gerade oder ungerade?
Für $n = 1, 2, 3, \ldots$ gibt es zwei Familien von Graphen. Bei geradem Exponenten erinnern sie an die Normalparabel, bei ungeradem an eine liegende S-Kurve.
| Eigenschaft | $n$ gerade ($x^2, x^4, \ldots$) | $n$ ungerade ($x^3, x^5, \ldots$) |
|---|---|---|
| Symmetrie | achsensymmetrisch zur y-Achse, denn $(-x)^n = x^n$ | punktsymmetrisch zum Ursprung, denn $(-x)^n = -x^n$ |
| gemeinsame Punkte | $(-1 \mid 1)$, $(0 \mid 0)$, $(1 \mid 1)$ | $(-1 \mid -1)$, $(0 \mid 0)$, $(1 \mid 1)$ |
| Wertebereich | $y \geq 0$ | alle reellen Zahlen |
| Monotonie | fallend für $x \leq 0$, steigend für $x \geq 0$ | überall steigend |
| Verlauf (für $a > 0$) | von links oben nach rechts oben: II → I | von links unten nach rechts oben: III → I |
Merke: Quadranten
Die Achsen teilen das Koordinatensystem in vier Quadranten, gezählt gegen den Uhrzeigersinn: I oben rechts, II oben links, III unten links, IV unten rechts. „Der Graph verläuft von II nach I“ heißt: Er kommt links von oben und geht rechts nach oben.
Je größer der Exponent, desto flacher ist der Graph zwischen $-1$ und $1$ und desto steiler außerhalb – denn zum Beispiel ist $0{,}5^6 = 0{,}015625$ viel kleiner als $0{,}5^2 = 0{,}25$, aber $2^6 = 64$ viel größer als $2^2 = 4$.
Der Faktor a: strecken, stauchen, spiegeln
- $|a| > 1$: Der Graph wird in y-Richtung gestreckt (schmaler, z. B. $2x^2$).
- $0 < |a| < 1$: Der Graph wird gestaucht (breiter, z. B. $0{,}5x^2$).
- $a < 0$: Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch dreht sich auch der Verlauf um: $-x^2$ verläuft von III nach IV, $-x^3$ von II nach IV.
Die Symmetrie ändert sich durch $a$ nicht. Wie man Graphen zusätzlich verschiebt, zeigt die Seite Funktionen verschieben und strecken mit Schiebereglern.
Negative Exponenten: Hyperbeln
Ein negativer Exponent bedeutet „Kehrwert“: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Die Graphen heißen Hyperbeln. Weil man nicht durch 0 teilen darf, ist $x = 0$ verboten: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
- Beide Achsen sind Asymptoten: Der Graph kommt ihnen beliebig nahe, berührt sie aber nie.
- Gerader negativer Exponent ($x^{-2}, x^{-4}$): achsensymmetrisch, alle Funktionswerte positiv, gemeinsame Punkte $(-1 \mid 1)$ und $(1 \mid 1)$.
- Ungerader negativer Exponent ($x^{-1}, x^{-3}$): punktsymmetrisch zum Ursprung, Äste in den Quadranten I und III, gemeinsame Punkte $(-1 \mid -1)$ und $(1 \mid 1)$.
Gebrochene Exponenten: Wurzelfunktionen
Ein Bruch im Exponenten bedeutet eine Wurzel: $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$, $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$ und allgemein $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. In der Schule werden diese Funktionen nur für $x \geq 0$ betrachtet.
- Definitionsbereich und Wertebereich: $x \geq 0$ bzw. $y \geq 0$. Es gibt keine Symmetrie.
- Alle Graphen gehen durch $(0 \mid 0)$ und $(1 \mid 1)$ und steigen – anfangs steil, dann immer flacher.
- Der Graph von $\sqrt{x}$ ist der an der Geraden $y = x$ gespiegelte rechte Parabelast: $\sqrt{x}$ ist die Umkehrfunktion von $x^2$ für $x \geq 0$.
Mehr zum Rechnen mit Wurzeln steht unter Wurzeln und Wurzelgesetze.
Alle Typen auf einen Blick
| Exponent | Beispiel | Definitionsbereich | Symmetrie | Graph |
|---|---|---|---|---|
| gerade, positiv | $x^4$ | alle $x$ | achsensymmetrisch | Parabel, II → I |
| ungerade, positiv | $x^3$ | alle $x$ | punktsymmetrisch | S-Kurve, III → I |
| gerade, negativ | $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ | $x \neq 0$ | achsensymmetrisch | Hyperbel in I und II |
| ungerade, negativ | $x^{-1} = \frac{1}{x}$ | $x \neq 0$ | punktsymmetrisch | Hyperbel in I und III |
| Bruch | $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ | $x \geq 0$ | keine | Wurzelkurve in I |
Beispiele Schritt für Schritt
1. Funktionswert berechnen
$f(x) = -2x^3$, gesucht ist $f(-3)$. Negative Zahlen beim Einsetzen immer in Klammern setzen und zuerst potenzieren:
$f(-3) = -2 \cdot (-3)^3 = -2 \cdot (-27) = 54$
2. Punktprobe
Liegt $P(2 \mid -16)$ auf dem Graphen von $f(x) = -x^4$? Einsetzen: $f(2) = -(2^4) = -16$. Der Funktionswert stimmt mit der y-Koordinate überein – ja, P liegt auf dem Graphen. Für $Q(-2 \mid 16)$ gilt dagegen $f(-2) = -\left((-2)^4\right) = -16 \neq 16$ – Q liegt nicht darauf.
3. Gleichungen $a \cdot x^n = c$ lösen
Erst nach $x^n$ umstellen, dann die $n$-te Wurzel ziehen:
- $3x^4 = 48 \;\Rightarrow\; x^4 = 16 \;\Rightarrow\; x = \pm 2$ (gerader Exponent: zwei Lösungen)
- $x^3 + 5 = -3 \;\Rightarrow\; x^3 = -8 \;\Rightarrow\; x = -2$ (ungerader Exponent: genau eine Lösung)
- $2x^2 = -18 \;\Rightarrow\; x^2 = -9$: keine Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ.
- $4x^{-2} = 1 \;\Rightarrow\; \frac{4}{x^2} = 1 \;\Rightarrow\; x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x = \pm 2$
- $3\sqrt{x} = 15 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 5 \;\Rightarrow\; x = 25$
4. Funktionsterm aus einem Punkt bestimmen
Gesucht ist eine Potenzfunktion $f(x) = a \cdot x^3$, deren Graph durch $P(2 \mid 4)$ geht. Einsetzen: $4 = a \cdot 2^3 = 8a$, also $a = \frac{1}{2}$ und $f(x) = \frac{1}{2}x^3$.
Typische Fehler
- $-3^2$ ist $-9$, aber $(-3)^2$ ist $9$. Beim Einsetzen negativer Zahlen deshalb immer Klammern setzen.
- Bei $x^2 = 9$ die negative Lösung vergessen: Es gilt $x = 3$ oder $x = -3$.
- $x^{-2}$ ist nicht $-x^2$, sondern $\frac{1}{x^2}$ – das Minus im Exponenten macht einen Kehrwert, keine negative Zahl.
- $x^{\frac{1}{2}}$ ist nicht $\frac{x}{2}$, sondern $\sqrt{x}$.
- „Gerade Funktion“ meint einen geraden Exponenten, nicht einen geraden Graphen (Geraden sind lineare Funktionen).
Online üben
Funktionswerte, Punktprobe, Symmetrie und Verlauf – in Stufe 2 mit negativen und gebrochenen Exponenten, in Stufe 3 Gleichungen. Verlauf gibst Du als Quadranten ein, zum Beispiel 3; 1 für „von III nach I“.
Stufe 1: natürliche Exponenten
-
Aufgabe 1
\(f(x) = -3x^{2}:\quad f(-2)\)\(f(-2) =\)\(f(-2) = -12\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = -\frac{1}{2}x^{3}:\quad \text{Verlauf}\)\(\text{von II nach IV}\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = x^{2}:\quad \text{Symmetrie}\)\(\text{achsensymmetrisch}\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -4x^{3},\quad P(-1 \mid 4)\)\(\text{ja}\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = -\frac{1}{2}x^{4},\quad P(2 \mid 8)\)\(\text{nein, denn } f(2) = -8\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = -2x^{5},\quad P(1 \mid -3)\)\(\text{nein, denn } f(1) = -2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Potenzfunktionen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Zeichne mehrere Potenzfunktionen gleichzeitig im Funktionsplotter. Wenn mehrere Potenzen addiert werden, entstehen ganzrationale Funktionen; die Parabel $x^2$ wird bei den quadratischen Funktionen genauer untersucht.
Weiterlesen: Potenzfunktion bei Wikipedia