Umkehrfunktion
Eine Funktion $f$ ordnet jedem $x$ einen Wert $y$ zu. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ geht den Weg zurück: Sie ordnet jedem $y$ wieder sein $x$ zu. Ein Beispiel aus dem Alltag: $f(x) = 1{,}8x + 32$ rechnet Grad Celsius in Fahrenheit um – die Umkehrfunktion rechnet Fahrenheit zurück in Celsius.
Wann ist eine Funktion umkehrbar?
Damit der Rückweg eindeutig ist, darf jeder y-Wert höchstens einmal vorkommen. Bei $f(x) = x^2$ ist das nicht so: $f(2) = 4$ und $f(-2) = 4$ – zu $y = 4$ gehören zwei x-Werte. Eine Funktion, die überall steigt (oder überall fällt), ist dagegen immer umkehrbar.
Tipp: der Waagerechten-Test
Schneidet jede waagerechte Linie den Graphen höchstens einmal, ist die Funktion umkehrbar. Bei der Parabel schneiden viele waagerechte Linien zweimal. Abhilfe: Man schränkt den Definitionsbereich ein, zum Beispiel auf $x \geq 0$ – dann ist nur noch der rechte Ast übrig, und der ist umkehrbar.
Umkehrfunktion bestimmen in vier Schritten
Merke
- Schreibe $y = f(x)$.
- Löse die Gleichung nach $x$ auf.
- Vertausche $x$ und $y$ – das Ergebnis ist $y = f^{-1}(x)$.
- Definitions- und Wertebereich tauschen ebenfalls die Rollen: $D_{f^{-1}} = W_f$ und $W_{f^{-1}} = D_f$.
1. Lineare Funktion: $f(x) = 2x - 6$
$y = 2x - 6 \;\Rightarrow\; y + 6 = 2x \;\Rightarrow\; x = \frac{1}{2}y + 3$. Tauschen: $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 3$.
Probe: $f(5) = 4$ und $f^{-1}(4) = 2 + 3 = 5$. ✓
2. Quadratische Funktion mit eingeschränktem Definitionsbereich
$f(x) = (x - 1)^2 + 2$ für $x \geq 1$ (rechter Parabelast, Wertebereich $y \geq 2$):
$y - 2 = (x - 1)^2 \;\Rightarrow\; x - 1 = \sqrt{y - 2} \;\Rightarrow\; x = \sqrt{y - 2} + 1$. Wegen $x \geq 1$ kommt nur die positive Wurzel in Frage.
Tauschen: $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 2} + 1$ für $x \geq 2$.
3. e-Funktion: $f(x) = 3e^{2x}$
$y = 3e^{2x} \;\Rightarrow\; \frac{y}{3} = e^{2x} \;\Rightarrow\; 2x = \ln\left(\frac{y}{3}\right) \;\Rightarrow\; x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{y}{3}\right)$.
Tauschen: $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ für $x > 0$, denn $3e^{2x}$ ist immer positiv. Mehr zum Logarithmus: ln-Funktion.
4. Kehrwertfunktion: $f(x) = \frac{1}{x - 2}$
$y = \frac{1}{x - 2} \;\Rightarrow\; x - 2 = \frac{1}{y} \;\Rightarrow\; x = \frac{1}{y} + 2$. Tauschen: $f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 2$ für $x \neq 0$.
Der Graph: Spiegelung an der Winkelhalbierenden
Weil beim Umkehren $x$ und $y$ ihre Rollen tauschen, wird aus jedem Punkt $P(a \mid b)$ des Graphen von $f$ der Punkt $P'(b \mid a)$ auf dem Graphen von $f^{-1}$. Geometrisch heißt das: Der Graph der Umkehrfunktion ist der an der Geraden $y = x$ gespiegelte Graph von $f$.
Schnittpunkte von $f$ mit der Geraden $y = x$ bleiben bei der Spiegelung an ihrem Platz – dort schneiden sich $f$ und $f^{-1}$.
Wichtige Paare von Funktion und Umkehrfunktion
| Funktion $f(x)$ | Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ | Hinweis |
|---|---|---|
| $x + c$ | $x - c$ | Plus und Minus heben sich auf |
| $m \cdot x$ | $\frac{x}{m}$ | $m \neq 0$ |
| $x^2$ für $x \geq 0$ | $\sqrt{x}$ | nur mit eingeschränktem Definitionsbereich |
| $x^3$ | $\sqrt[3]{x}$ | in der Schule meist für $x \geq 0$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{x}$ | die Hyperbel ist ihre eigene Umkehrfunktion |
| $e^x$ | $\ln x$ | für $x > 0$ |
| $10^x$ | $\lg x$ | für $x > 0$ |
| $a^x$ | $\log_a x$ | $a > 0$, $a \neq 1$; siehe Logarithmus |
Ausblick: Ableitung der Umkehrfunktion
In der Oberstufe lässt sich die Steigung der Umkehrfunktion aus der Steigung von $f$ berechnen. Liegt $(x_0 \mid y_0)$ auf dem Graphen von $f$ und ist $f'(x_0) \neq 0$, dann gilt
So folgt zum Beispiel aus $(e^x)' = e^x$ die Ableitung $(\ln x)' = \frac{1}{x}$: Am Punkt $(x_0 \mid e^{x_0})$ ist die Steigung von $\ln$ gleich $\frac{1}{e^{x_0}} = \frac{1}{y_0}$.
Typische Fehler
- $f^{-1}(x)$ ist nicht der Kehrwert $\frac{1}{f(x)}$ – die $-1$ ist hier kein Exponent, sondern bedeutet „umgekehrt“.
- Nach dem Auflösen vergessen, $x$ und $y$ zu tauschen.
- Bei $x^2$ die Umkehrfunktion $\pm\sqrt{x}$ angeben – eine Funktion darf jedem $x$ nur einen Wert zuordnen. Erst den Definitionsbereich einschränken, dann passt nur ein Vorzeichen.
- Den Definitionsbereich der Umkehrfunktion vergessen: $\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ gibt es nur für $x > 0$.
Online üben
Gib nur den Term der Umkehrfunktion ein, zum Beispiel 0,5x + 3, sqrt(x - 2) + 1 oder ln(x/3)/2. Für $e^x$ schreibst Du e^x, den Logarithmus zur Basis 2 als ln(x)/ln(2).
Stufe 2: Quadrat, Wurzel, Kehrwert
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Aufgabe 1
\(f(x) = \left(x + 5\right)^{2},\ x \geq -5\)\(f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 5,\ x \geq 0\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = \sqrt{x - 6} + 3\)\(f^{-1}(x) = \left(x - 3\right)^{2} + 6,\ x \geq 3\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = \left(x + 1\right)^{2} - 3,\ x \geq -1\)\(f^{-1}(x) = \sqrt{x + 3} - 1,\ x \geq -3\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = \sqrt{x} + 3\)\(f^{-1}(x) = \left(x - 3\right)^{2},\ x \geq 3\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = \sqrt{x + 5} - 3\)\(f^{-1}(x) = \left(x + 3\right)^{2} - 5,\ x \geq -3\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = \frac{x^{2}}{2},\ x \geq 0\)\(f^{-1}(x) = \sqrt{2x},\ x \geq 0\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Umkehrfunktion bestimmen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–11.
Prüfe Deine Ergebnisse grafisch im Funktionsplotter: Funktion, Umkehrfunktion und $y = x$ zusammen zeichnen. Grundlagen zu den beteiligten Funktionen findest Du bei den Potenzfunktionen, der e-Funktion und beim Wurzelziehen.
Weiterlesen: Umkehrfunktion bei Wikipedia