Besondere Linien und Punkte im Dreieck
In jedem Dreieck gibt es vier Arten besonderer Linien – und jedes Mal schneiden sich alle drei Linien einer Art in einem einzigen Punkt. Hier siehst Du, wie Du Umkreis, Inkreis, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt konstruierst, wo sie liegen und wie Du sie mit Koordinaten ausrechnest.
| Linien | Was sie tun | Schnittpunkt | Wozu? |
|---|---|---|---|
| Mittelsenkrechten | stehen senkrecht in der Mitte jeder Seite | Umkreismittelpunkt U | Kreis durch alle drei Ecken |
| Winkelhalbierende | halbieren die drei Innenwinkel | Inkreismittelpunkt I | Kreis, der alle drei Seiten berührt |
| Seitenhalbierende | verbinden eine Ecke mit der Mitte der Gegenseite | Schwerpunkt S | Gleichgewichtspunkt des Dreiecks |
| Höhen | gehen durch eine Ecke und stehen senkrecht auf der Gegenseite | Höhenschnittpunkt H | Flächeninhalt: A = ½ · Grundseite · Höhe |
Wie Du Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Lot mit dem Zirkel konstruierst, steht auf der Seite Konstruktionen.
Mittelsenkrechten und Umkreis
- Gegeben ist das Dreieck ABC.
- Konstruiere die Mittelsenkrechte der Seite c = AB (wie oben mit Zirkel und Lineal).
- Konstruiere auch die Mittelsenkrechte von b = AC. Ihr Schnittpunkt ist der Umkreismittelpunkt U.
- Zur Kontrolle: Auch die dritte Mittelsenkrechte (von a = BC) geht durch U.
- Stich in U ein und zeichne den Kreis durch A. Er geht auch durch B und C – das ist der Umkreis.
Merke: Umkreismittelpunkt U
U ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt: $|UA| = |UB| = |UC| = R$. Wo U liegt, hängt vom Dreieck ab:
- spitzwinklig: U liegt innerhalb des Dreiecks,
- rechtwinklig: U liegt genau auf der Mitte der Hypotenuse (das ist der Satz des Thales),
- stumpfwinklig: U liegt außerhalb.
Winkelhalbierende und Inkreis
- Gegeben ist das Dreieck ABC.
- Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels α bei A.
- Konstruiere die Winkelhalbierende von β bei B. Ihr Schnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt I.
- Fälle das Lot von I auf die Seite c. Der Abstand von I zum Lotfußpunkt ist der Inkreisradius r.
- Zeichne um I den Kreis mit Radius r. Er berührt alle drei Seiten – das ist der Inkreis.
Merke: Inkreismittelpunkt I
I hat von allen drei Seiten denselben Abstand – den Inkreisradius r. Den Abstand misst Du immer senkrecht zur Seite (Lot fällen). I liegt immer innerhalb des Dreiecks. Mit dem Flächeninhalt F und dem Umfang u gilt $r = \frac{2F}{u}$.
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
- Gegeben ist das Dreieck ABC.
- Bestimme die Mittelpunkte der drei Seiten (messen oder mit der Mittelsenkrechten konstruieren).
- Verbinde jede Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite: Das sind die Seitenhalbierenden.
- Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt S. Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 (der längere Teil liegt an der Ecke).
Merke: Schwerpunkt S
S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1: Von der Ecke bis S sind es zwei Drittel, von S bis zur Seitenmitte ein Drittel. Schneidest Du ein Dreieck aus Pappe aus, kannst Du es genau in S auf einer Bleistiftspitze balancieren.
Mit Koordinaten ist S einfach der Mittelwert der drei Ecken: $S\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \,\middle|\, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$.
Höhen und Höhenschnittpunkt
- Gegeben ist das Dreieck ABC.
- Fälle das Lot von C auf die Seite c: Das ist die Höhe h_c.
- Fälle auch das Lot von A auf die Seite a (Höhe h_a). Die Höhen schneiden sich im Höhenschnittpunkt H.
- Auch die dritte Höhe h_b geht durch H. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt H außerhalb – dann musst Du die Seiten verlängern.
Merke: Höhenschnittpunkt H
Eine Höhe ist das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite (oder ihre Verlängerung). Im spitzwinkligen Dreieck liegt H innen, im rechtwinkligen Dreieck ist H die Ecke mit dem rechten Winkel, im stumpfwinkligen Dreieck liegt H außen.
Selbst ausprobieren: Ecken ziehen
Verschiebe die Ecken und beobachte, wie die besonderen Punkte wandern. Was passiert mit U, wenn das Dreieck rechtwinklig wird? Und mit H, wenn ein Winkel stumpf wird?
Ziehe die Ecken A, B und C mit der Maus oder dem Finger.
Die Euler-Gerade
Drei der vier Punkte liegen in jedem Dreieck auf einer gemeinsamen Geraden, der Euler-Geraden: Umkreismittelpunkt U, Schwerpunkt S und Höhenschnittpunkt H. Dabei liegt S immer zwischen U und H und ist doppelt so weit von H entfernt wie von U. Nur im gleichseitigen Dreieck fallen alle vier Punkte zusammen. Kreuze im Bild oben „Euler-Gerade“ an und probiere es aus.
Mit Koordinaten rechnen
Beispiel: A(0 | 0), B(6 | 0), C(2 | 4)
- Schwerpunkt: $S\left(\frac{0 + 6 + 2}{3} \,\middle|\, \frac{0 + 0 + 4}{3}\right) = S\left(\frac{8}{3} \,\middle|\, \frac{4}{3}\right)$
- Umkreismittelpunkt: Die Mittelsenkrechte von AB ist $x = 3$. Die Mittelsenkrechte von AC geht durch $M_b(1 \mid 2)$ und steht senkrecht auf $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$: $2x + 4y = 10$. Mit $x = 3$ folgt $y = 1$, also $U(3 \mid 1)$ und $R = |UA| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$.
- Höhenschnittpunkt: Die Höhe auf c geht durch C und steht senkrecht auf AB: $x = 2$. Die Höhe auf a geht durch A und steht senkrecht auf $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \end{pmatrix}$: $-4x + 4y = 0$, also $y = x$. Damit ist $H(2 \mid 2)$.
- Kontrolle mit der Euler-Geraden: $H = A + B + C - 2U = (8 - 6 \mid 4 - 2) = (2 \mid 2)$ ✓
Alle vier Punkte samt Rechenweg und Zeichnung bekommst Du mit dem Rechner für besondere Punkte im Dreieck.
Typische Fehler
- Seitenhalbierende und Winkelhalbierende verwechselt: Die Seitenhalbierende geht zur Mitte der Seite, die Winkelhalbierende teilt den Winkel – beides ist nur im gleichschenkligen Dreieck dieselbe Linie.
- Die Höhe zur Seitenmitte gezeichnet statt senkrecht zur Seite.
- Beim Inkreis den Radius bis zu einer Ecke gemessen – richtig ist der senkrechte Abstand zu einer Seite.
- Im stumpfwinkligen Dreieck die Seiten nicht verlängert – dann findet man die Höhen nicht.
Online üben
Berechne die besonderen Punkte aus den Koordinaten der Ecken. Punkte gibst Du so ein: (8/3|4/3) oder 2,5; 1.
Stufe 1: Schwerpunkt und Seitenmitten
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Aufgabe 1
\(A(0 \mid -4),\ B(-1 \mid 5),\ C(-6 \mid 0):\ \text{Schwerpunkt } S\)\(S =\)\(S\left(-\frac{7}{3} \mid \frac{1}{3}\right)\)
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Aufgabe 2
\(A(-5 \mid 5),\ B(-6 \mid 5),\ C(-1 \mid -4):\ \text{Mitte von } c = AB\)\(M_c =\)\(M_c\left(-\frac{11}{2} \mid 5\right)\)
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Aufgabe 3
\(A(3 \mid 2),\ B(7 \mid -2),\ C(0 \mid 2):\ \text{Mitte von } b = AC\)\(M_b =\)\(M_b\left(\frac{3}{2} \mid 2\right)\)
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Aufgabe 4
\(A(-2 \mid -5),\ B(8 \mid -2),\ C(6 \mid 6):\ \text{Mitte von } c = AB\)\(M_c =\)\(M_c\left(3 \mid -\frac{7}{2}\right)\)
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Aufgabe 5
\(A(0 \mid -4),\ B(6 \mid 2),\ C(5 \mid -1):\ \text{Schwerpunkt } S\)\(S =\)\(S\left(\frac{11}{3} \mid -1\right)\)
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Aufgabe 6
\(A(-2 \mid 7),\ B(7 \mid -3),\ C(7 \mid 2):\ \text{Schwerpunkt } S\)\(S =\)\(S\left(4 \mid 2\right)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Besondere Punkte im Dreieck berechnen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–10.
Arbeitsblatt: Konstruieren mit Zirkel und Lineal
Konstruktionsaufgaben in Originalgröße – Stufe 3 mit Umkreis und Inkreis gegebener Dreiecke. Das Lösungsblatt zeigt die fertigen Konstruktionen. Klasse 5–8.
Weiterlesen: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck, Eulersche Gerade bei Wikipedia