Kosten, Erlös und Gewinn
Wie viel muss ein Unternehmen verkaufen, damit es Gewinn macht? Und bei welcher Menge ist der Gewinn am größten? In der Wirtschaftsmathematik beschreibt man Kosten, Erlös und Gewinn als Funktionen der produzierten Menge $x$ – und beantwortet solche Fragen mit Nullstellen und der Kurvendiskussion.
Die Beispiele sind vereinfachte Modelle: Alle produzierten Stücke werden verkauft, Preise und Kosten sind fest vorgegeben. Mengen werden in ME (Mengeneinheiten), Geldbeträge in GE (Geldeinheiten) gemessen.
Die drei Funktionen
Merke
- Kostenfunktion $K(x) = K_v(x) + K_f$: variable Kosten (Material, Energie …) plus Fixkosten $K_f = K(0)$ (Miete, Maschinen …), die auch ohne Produktion anfallen.
- Erlösfunktion (Umsatz) $E(x) = p \cdot x$: Menge mal Preis.
- Gewinnfunktion $G(x) = E(x) - K(x)$: Erlös minus Kosten. Ist $G(x) < 0$, macht das Unternehmen Verlust.
Schritt für Schritt: lineare Kosten
Beispiel: $K(x) = 8x + 2400$, Verkaufspreis 20 GE pro Stück
- Fixkosten: $K_f = 2400$ GE, variable Stückkosten: 8 GE.
- Erlös: $E(x) = 20x$.
- Gewinn: $G(x) = 20x - (8x + 2400) = 12x - 2400$.
- Gewinnschwelle: $G(x) = 0 \;\Rightarrow\; 12x = 2400 \;\Rightarrow\; x = 200$ ME.
- Bei 300 ME ist der Gewinn $G(300) = 3600 - 2400 = 1200$ GE.
Waagerecht: Menge $x$ in ME, senkrecht: GE. Der Schnittpunkt von Kosten- und Erlösgerade ist der Break-even-Point (BEP).
Tipp: Deckungsbeitrag
Jedes verkaufte Stück bringt $p - k_v = 20 - 8 = 12$ GE, um die Fixkosten zu decken – den Deckungsbeitrag. Die Gewinnschwelle ist deshalb $x = \frac{K_f}{p - k_v} = \frac{2400}{12} = 200$.
Stückkosten
Teilt man die Kosten durch die Menge, erhält man die Kosten pro Stück:
Im Beispiel ist $k(x) = 8 + \frac{2400}{x}$. Bei 100 ME kostet ein Stück 32 GE, bei 400 ME nur noch 14 GE – die Fixkosten verteilen sich auf mehr Stücke (Fixkostendegression).
Ertragsgesetzliche Kostenfunktion
In vielen Betrieben steigen die Kosten zuerst immer langsamer (die Produktion wird effizienter) und ab einer bestimmten Menge immer schneller (Überstunden, Verschleiß). Eine solche s-förmige Kostenkurve beschreibt man mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades:
Die letzte Bedingung sorgt dafür, dass $K'(x) > 0$ ist – die Kosten steigen also mit jeder zusätzlichen Einheit. Der Wendepunkt heißt Kostenkehre: Dort geht der degressive in den progressiven Kostenverlauf über.
Beispiel: $K(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 98$, Preis 60 GE
- Gewinnfunktion: $G(x) = 60x - K(x) = -x^3 + 12x^2 - 98$.
- Gewinnschwelle und Gewinngrenze sind die Nullstellen von $G$. Sie lassen sich hier nur näherungsweise bestimmen (z. B. mit dem Nullstellenrechner): $x_{GS} \approx 3{,}37$ und $x_{GG} \approx 11{,}22$. Zwischen diesen Mengen macht der Betrieb Gewinn.
- Gewinnmaximum: $G'(x) = -3x^2 + 24x = -3x\,(x - 8) = 0 \;\Rightarrow\; x = 8$ (die Lösung $x = 0$ ist ein Minimum).
- Prüfen: $G''(x) = -6x + 24$, $G''(8) = -24 < 0$ – also ein Maximum.
- Maximaler Gewinn: $G(8) = -512 + 768 - 98 = 158$ GE.
Der Gewinn ist dort am größten, wo die Erlösgerade und die Kostenkurve parallel verlaufen: $E'(x) = K'(x)$, also Preis = Grenzkosten.
Betriebsminimum und Betriebsoptimum
Wie tief darf der Preis fallen, bevor sich die Produktion nicht mehr lohnt? Das beantworten die Minima der Stückkostenfunktionen:
Merke
- Betriebsminimum: Minimum der variablen Stückkosten $k_v(x)$. Der Wert ist die kurzfristige Preisuntergrenze – darunter deckt der Erlös nicht einmal die variablen Kosten.
- Betriebsoptimum: Minimum der Stückkosten $k(x)$. Der Wert ist die langfristige Preisuntergrenze – darunter macht der Betrieb auf Dauer Verlust.
Beispiel: $K(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 98$
Betriebsminimum: $k_v(x) = x^2 - 12x + 60$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitel bei $x = 6$: $k_v(6) = 36 - 72 + 60 = 24$. Kurzfristige Preisuntergrenze: 24 GE.
Betriebsoptimum: $k(x) = x^2 - 12x + 60 + \frac{98}{x}$, $k'(x) = 2x - 12 - \frac{98}{x^2} = 0$. Mal $x^2$: $2x^3 - 12x^2 - 98 = 0$, also $x^3 - 6x^2 - 49 = 0$. Probieren liefert $x = 7$ (denn $343 - 294 - 49 = 0$), und $k(7) = 49 - 84 + 60 + 14 = 39$. Langfristige Preisuntergrenze: 39 GE.
Die Grenzkostenkurve $K'(x)$ schneidet beide Stückkostenkurven genau in ihren Minima – eine gute Kontrolle für Deine Rechnung.
Monopol: Preis-Absatz-Funktion und Cournot-Punkt
Im Polypol (viele Anbieter) ist der Preis vom Markt vorgegeben. Ein Monopolist kann den Preis selbst festlegen – je höher er ist, desto weniger wird verkauft. Das beschreibt die Preis-Absatz-Funktion, oft eine fallende Gerade $p(x) = a - b\,x$. Der Erlös ist dann eine nach unten geöffnete Parabel: $E(x) = p(x) \cdot x = ax - bx^2$.
Beispiel: $p(x) = 60 - 0{,}5x$ und $K(x) = 10x + 500$
- Erlös: $E(x) = (60 - 0{,}5x) \cdot x = 60x - 0{,}5x^2$. Er ist bei $x = 60$ maximal (Scheitel), $E(60) = 1800$ GE.
- Gewinn: $G(x) = -0{,}5x^2 + 50x - 500$.
- Gewinnmaximum: $G'(x) = -x + 50 = 0 \;\Rightarrow\; x = 50$, $G(50) = 750$ GE.
- Gewinnmaximaler Preis (Cournot-Preis): $p(50) = 60 - 25 = 35$ GE. Der Punkt $C(50 \mid 35)$ heißt Cournot-Punkt.
- Gewinnzone: $G(x) = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 100x + 1000 = 0 \;\Rightarrow\; x = 50 \pm \sqrt{1500}$, also von etwa 11,27 ME bis 88,73 ME.
Typische Fehler
- $G(x) = K(x) - E(x)$ gerechnet – richtig ist Erlös minus Kosten.
- Gewinnmaximum und Erlösmaximum verwechselt: Im Beispiel liegt das Erlösmaximum bei 60 ME, das Gewinnmaximum bei 50 ME.
- Beim Cournot-Punkt den Gewinn statt des Preises angegeben: Die zweite Koordinate ist $p(x_C)$.
- Beim Betriebsminimum die Fixkosten mitgerechnet – $k_v$ enthält nur die variablen Kosten.
- Die zweite Ableitung vergessen: $G'(x) = 0$ kann auch ein Minimum liefern (im Beispiel $x = 0$).
Online üben
Runde Mengen auf zwei Nachkommastellen, wenn das Ergebnis nicht ganzzahlig ist.
Stufe 1: lineare Kosten (Break-even)
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Aufgabe 1
\(K(x) = 35x + 28.350,\ p = 70:\ \text{Gewinn bei } 4050\ \text{ME}\)\(G =\)GE\(G(4050) = 35 \cdot 4050 - 28.350 = 113.400\ \text{GE}\)
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Aufgabe 2
\(K(x) = 17x + 33.120:\ \text{Stückkosten bei } 5280\ \text{ME}\)\(k =\)GE\(k(5280) = 17 + \frac{33.120}{5280} \approx 23{,}27\ \text{GE}\)
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Aufgabe 3
\(K(x) = 56x + 56.400,\ p = 96:\ \text{Menge für 14.000 GE Gewinn}\)\(x =\)ME\(x = \frac{14.000 + 56.400}{40} = 1760\ \text{ME}\)
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Aufgabe 4
\(K(x) = 23x + 58.400,\ p = 43:\ \text{Gewinn bei } 3140\ \text{ME}\)\(G =\)GE\(G(3140) = 20 \cdot 3140 - 58.400 = 4400\ \text{GE}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kosten, Erlös und Gewinn
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–13.
Mit dem Gewinn-Rechner untersuchst Du eigene Kostenfunktionen – mit Rechenweg und Graphen. Mehr zum Finden von Hoch- und Tiefpunkten findest Du bei den Extremwertaufgaben.
Weiterlesen: Gewinnschwelle, Kostenfunktion, Cournotscher Punkt bei Wikipedia