Probe-Klassenarbeit Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen
Klasse 9–10 · Potenzfunktionen, Graphen verschieben und strecken, Grad und Verhalten im Unendlichen, Nullstellen aus der Linearfaktorform und Umkehrfunktionen.
- 14 Aufgaben
- 29 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Eigenschaften von Potenzfunktionen (je 1 P.)
Gemischte Aufgaben zu f(x) = a · x^n: Berechne den Funktionswert, prüfe, ob der Punkt P auf dem Graphen liegt (ja oder nein), gib die Symmetrie an (achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch) oder den Verlauf als Quadranten, z. B. „von III nach I“.
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\(f(x) = -2x^{3}:\quad f(2)\)\(f(2) =\)Lösung: \(f(2) = -16\)
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\(f(x) = 2x^{2}:\quad f(2)\)\(f(2) =\)Lösung: \(f(2) = 8\)
Aufgabe 2: Negative und gebrochene Exponenten (je 2 P.)
Negative und gebrochene Exponenten: Berechne die Funktionswerte exakt (als Bruch), gib die Symmetrie an (achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder keine) oder entscheide, ob x = 0 eingesetzt werden darf.
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\(f(x) = -2x^{\frac{3}{2}}:\quad f(25)\)Lösung: \(f(25) = -250\)
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\(f(x) = 3x^{-2}:\quad f(-3)\)Lösung: \(f(-3) = \frac{1}{3}\)
Aufgabe 3: Potenzgleichungen (je 2 P.)
Löse die Gleichungen. Bei geradem Exponenten gibt es oft zwei Lösungen (±) – oder gar keine.
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\(-2x^{3} = -16\)Lösung: \(x = 2\)
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\(\sqrt{x} = 3\)Lösung: \(x = 9\)
Aufgabe 4: Verschiebung ablesen (je 2 P.)
Um wie viel ist der Graph gegenüber dem Graphen der Grundfunktion (x², x³, |x|, √x oder 1/x) verschoben? Gib die Verschiebung als (x-Richtung | y-Richtung) an: (3 | –2) heißt 3 nach rechts und 2 nach unten.
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\(f(x) = \left|x - 3\right| - 4\)Lösung: \((3 \mid -4)\ \text{: 3 nach rechts, 4 nach unten}\)
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\(f(x) = \left(x + 6\right)^{2} - 3\)Lösung: \((-6 \mid -3)\ \text{: 6 nach links, 3 nach unten}\)
Aufgabe 5: Funktionsterm aufstellen (3 P.)
Stelle den Funktionsterm f(x) auf. „Gespiegelt“ heißt an der x-Achse gespiegelt, „Faktor k“ heißt in y-Richtung mit k gestreckt (k > 1) bzw. gestaucht (k < 1). Erst wird gespiegelt und gestreckt, danach verschoben.
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\(g(x) = x^{2}:\quad \text{gespiegelt}\text{, }\text{Faktor 3}\text{, }\text{6 nach rechts, 5 nach unten}\)Lösung: \(f(x) = -3\left(x - 6\right)^{2} - 5\)
Aufgabe 6: Verhalten im Unendlichen (2 P.)
Beschreibe das Verhalten im Unendlichen: Von welchem Quadranten in welchen verläuft der Graph? (I oben rechts, II oben links, III unten links, IV unten rechts; online z. B. 3; 1)
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\(f(x) = -6x^{5} + 9x^{3} + 6 - \frac{1}{2}x^{6}\)Lösung: \(\text{von III nach IV}\ (x \to -\infty:\ f(x) \to -\infty;\ x \to +\infty:\ f(x) \to -\infty)\)
Aufgabe 7: Nullstellen aus der Linearfaktorform (je 3 P.)
Gib alle Nullstellen an und notiere, ob sie einfach, doppelt oder dreifach sind (Schnitt- oder Berührstelle). Online genügen die Nullstellen, z. B. 1; -3.
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\(f(x) = (x - 1)^{2}(x - 3)^{2}(x - 2)\)Lösung: \(x_{1} = 1\ (\text{doppelt}),\ x_{2} = 2\ (\text{einfach}),\ x_{3} = 3\ (\text{doppelt})\)
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\(f(x) = (x + 2)^{2}(x - 3)(x + 4)\)Lösung: \(x_{1} = -4\ (\text{einfach}),\ x_{2} = -2\ (\text{doppelt}),\ x_{3} = 3\ (\text{einfach})\)
Aufgabe 8: Umkehrfunktion (je 2 P.)
Bestimme die Umkehrfunktion: y = f(x) schreiben, nach x auflösen, x und y tauschen. Gib bei Wurzel- und Logarithmusfunktionen den Definitionsbereich mit an.
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\(f(x) = -x + 6\)Lösung: \(f^{-1}(x) = -x + 6\)
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\(f(x) = 5x + 6\)Lösung: \(f^{-1}(x) = \frac{1}{5}x - \frac{6}{5}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.