Koordinatensystem
Mit einem Koordinatensystem beschreibst Du die Lage eines Punktes mit nur zwei Zahlen – ganz genau und ohne lange Erklärungen. Du kennst das Prinzip vielleicht vom Spiel „Schiffe versenken“ oder von einem Stadtplan mit Planquadraten wie „B4“.
So ist ein Koordinatensystem aufgebaut
- Die waagerechte Achse heißt x-Achse (Rechtsachse). Auf ihr liest Du ab, wie weit ein Punkt nach rechts liegt.
- Die senkrechte Achse heißt y-Achse (Hochachse). Auf ihr liest Du ab, wie weit ein Punkt nach oben liegt.
- Die beiden Achsen schneiden sich im Ursprung $O(0 \mid 0)$. Dort beginnt das Zählen.
- Beide Achsen haben eine Einheit – im Heft meist 1 Kästchen oder 1 cm. Die Zahlen an den Achsen stehen in gleichen Abständen.
Merke
Ein Punkt wird mit zwei Zahlen in einer Klammer angegeben: $P(x \mid y)$.
- Die erste Zahl ist die x-Koordinate: so weit gehst Du vom Ursprung nach rechts.
- Die zweite Zahl ist die y-Koordinate: so weit gehst Du danach nach oben.
Die Reihenfolge ist wichtig: $(2 \mid 5)$ und $(5 \mid 2)$ sind zwei verschiedene Punkte.
Eselsbrücke
„Erst durch den Flur, dann die Treppe hoch“: Du gehst zuerst nach rechts (x), dann nach oben (y) – nie umgekehrt. Auch im Alphabet kommt x vor y.
Punkte ablesen
Beispiel: Koordinaten ablesen
- Gehe vom Punkt A senkrecht nach unten zur x-Achse. Du landest bei 2 – das ist die x-Koordinate.
- Gehe vom Punkt A waagerecht nach links zur y-Achse. Du landest bei 4 – das ist die y-Koordinate.
- Schreibe beides in die Klammer: $A(2 \mid 4)$.
Genauso findest Du $B(6 \mid 1)$, $C(0 \mid 3)$ und $D(7 \mid 5)$. Der Punkt C liegt auf der y-Achse – deshalb ist seine x-Koordinate 0.
Punkte auf den Achsen
Liegt ein Punkt auf der y-Achse, ist seine x-Koordinate 0, zum Beispiel $(0 \mid 3)$. Liegt er auf der x-Achse, ist seine y-Koordinate 0, zum Beispiel $(4 \mid 0)$.
Punkte eintragen
Um den Punkt $E(3 \mid 5)$ einzutragen, startest Du im Ursprung, gehst 3 Einheiten nach rechts und dann 5 Einheiten nach oben. Dort zeichnest Du ein kleines Kreuz und schreibst den Namen E daneben.
Achtung, häufiger Fehler
Wer x und y vertauscht, landet an einer ganz anderen Stelle: $E(3 \mid 5)$ liegt oben links von $F(5 \mid 3)$. Prüfe beim Eintragen immer: Habe ich zuerst nach rechts und dann nach oben gezählt?
Figuren im Koordinatensystem
Verbindest Du mehrere Punkte der Reihe nach, entsteht eine Figur. Mit den Koordinaten kannst Du dann Seitenlängen und Flächen ausrechnen, ohne zu messen.
Beispiel: Seitenlängen und Fläche des Rechtecks
A und B haben dieselbe y-Koordinate 1. Die Strecke AB ist deshalb waagerecht, und ihre Länge ist der Unterschied der x-Koordinaten: $6 - 1 = 5$ Einheiten. Genauso ist BC senkrecht und $4 - 1 = 3$ Einheiten lang.
Flächeninhalt: $5 \cdot 3 = 15$ Flächeneinheiten (Kästchen). Wie Du den Flächeninhalt anderer Figuren berechnest, steht bei Umfang und Flächeninhalt.
Beispiel: fehlenden Eckpunkt ergänzen
Gegeben sind $A(1 \mid 1)$, $B(5 \mid 1)$ und $C(7 \mid 4)$. Gesucht ist D, sodass ABCD ein Parallelogramm ist. Im Parallelogramm ist DC genauso lang und parallel wie AB: Von B nach A gehst Du 4 nach links, also gehst Du auch von C aus 4 nach links. So erhältst Du $D(3 \mid 4)$.
Tipp: Abstände parallel zu den Achsen
Haben zwei Punkte dieselbe y-Koordinate, liegen sie auf einer waagerechten Linie: Ihr Abstand ist „großes x minus kleines x“. Haben sie dieselbe x-Koordinate, rechnest Du „großes y minus kleines y“. Schräge Strecken berechnest Du später mit dem Satz des Pythagoras.
Alle vier Quadranten – mit negativen Zahlen
Sobald Du negative Zahlen kennst, verlängerst Du die Achsen über den Ursprung hinaus: die x-Achse nach links, die y-Achse nach unten. Die beiden Achsen teilen die Ebene in vier Felder, die Quadranten. Sie werden gegen den Uhrzeigersinn mit I, II, III und IV nummeriert, beginnend oben rechts.
| Quadrant | x-Koordinate | y-Koordinate | Beispiel |
|---|---|---|---|
| I (oben rechts) | positiv | positiv | $A(3 \mid 2)$ |
| II (oben links) | negativ | positiv | $B(-4 \mid 3)$ |
| III (unten links) | negativ | negativ | $C(-2 \mid -3)$ |
| IV (unten rechts) | positiv | negativ | $D(4 \mid -1)$ |
Merke
Eine negative x-Koordinate heißt: vom Ursprung aus nach links. Eine negative y-Koordinate heißt: nach unten. Punkte auf einer Achse gehören zu keinem Quadranten.
Typische Fehler
- x und y vertauscht – immer zuerst nach rechts oder links, dann nach oben oder unten.
- Bei der Achsenbeschriftung nicht bei 0 angefangen oder ungleiche Abstände gewählt.
- Das Minuszeichen vergessen: $(-2 \mid 3)$ liegt links von der y-Achse, $(2 \mid 3)$ rechts davon.
- Punkte als dicken Klecks gezeichnet – ein kleines Kreuz ist genauer.
Im Koordinatensystem zeichnest Du später auch die Graphen von Funktionen, zum Beispiel bei den linearen Funktionen. Wie Du Figuren darin spiegelst, verschiebst und drehst, steht bei Symmetrie und Abbildungen.
Online üben: Koordinaten ablesen
Stufe 3: alle vier Quadranten
-
Aufgabe 1
Welche Koordinaten hat der Punkt B?
Zuerst nach rechts bzw. links (x), dann nach oben bzw. unten (y): \(B(4 \mid -4)\) -
Aufgabe 2
Welche Koordinaten hat der Punkt C?
Zuerst nach rechts bzw. links (x), dann nach oben bzw. unten (y): \(C(2 \mid -4)\) -
Aufgabe 3
In welchem Quadranten liegt D(4|−3)? Antworte mit I, II, III oder IV.
x ist positiv, y ist negativ – also Quadrant IV. -
Aufgabe 4
Welche Koordinaten hat der Punkt C?
Zuerst nach rechts bzw. links (x), dann nach oben bzw. unten (y): \(C(1 \mid -4)\) -
Aufgabe 5
Welche Koordinaten hat der Punkt D?
Zuerst nach rechts bzw. links (x), dann nach oben bzw. unten (y): \(D(-5 \mid 3)\) -
Aufgabe 6
Welche Koordinaten hat der Punkt A?
Zuerst nach rechts bzw. links (x), dann nach oben bzw. unten (y): \(A(-3 \mid -4)\)
Punkte schreibst Du so: (3|5) oder 3; 5 – zuerst x, dann y, negative Zahlen mit Minus. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Koordinatensystem
Eine volle DIN-A4-Seite mit Koordinatensystemen zum Ablesen, Eintragen und Ergänzen – mit Lösungsblatt, bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 5–7.
Weiterlesen: Kartesisches Koordinatensystem bei Wikipedia