Probe-Klausur Gebrochenrationale Funktionen und Integrationsmethoden
Klasse 12–13 · Definitionslücken und Asymptoten, Grenzwerte, Substitution und partielle Integration, Rotationskörper und uneigentliche Integrale.
- 18 Aufgaben
- 50 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Definitionslücken und Nullstellen (je 3 P.)
Bestimme das Gefragte: Definitionslücken (Nenner = 0), Nullstellen (Zähler = 0, aber nur im Definitionsbereich), waagerechte Asymptote (Grade vergleichen) oder f(0).
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\(f(x) = \frac{2x^{2} - 4x + 5}{4x^{2} + 3}:\ \text{waagerechte Asymptote}\)\(y =\)Lösung: \(y = \frac{1}{2}\)
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\(f(x) = \frac{-4x - 6}{x^{2} + 1}:\ \text{Definitionslücken}\)Lösung: \(\text{keine Definitionslücken}\)
Aufgabe 2: Polstelle oder hebbare Lücke (3 P.)
Faktorisiere Zähler und Nenner. Kürzt sich ein Faktor (x − a) heraus, ist x = a eine hebbare Lücke, sonst eine Polstelle. Doppelte Nullstelle des Nenners: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
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\(\lim_{x \to -3} f(x)\ \text{für}\ f(x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 6}\)Lösung: \(\lim_{x \to -3} \frac{x - 3}{x - 2} = \frac{6}{5}\)
Aufgabe 3: Asymptoten (3 P.)
Zählergrad = Nennergrad + 1: Polynomdivision, der ganzrationale Teil ist die schiefe Asymptote. Gleicher Grad: Quotient der Leitkoeffizienten. Sonst Vorzeichen der höchsten Potenzen betrachten.
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\(f(x) = \frac{-x^{2} - 9}{x + 2}:\ \text{schiefe Asymptote}\)\(y =\)Lösung: \(f(x) = -x + 2 - \frac{13}{x + 2} \;\Rightarrow\; y = -x + 2\)
Aufgabe 4: Grenzwerte (je 2 P.)
Berechne die Grenzwerte an der Stelle x₀. Erst einsetzen – kommt 0/0 heraus, faktorisieren und kürzen. Bei Polstellen auf die Seite (+ oder −) achten.
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\(\lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3}\)Lösung: \(\lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3} = 27\)
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\(\lim_{x \to 0} \left(2x^{2} + 2x - 4\right)\)Lösung: \(\lim_{x \to 0} \left(2x^{2} + 2x - 4\right) = -4\)
Aufgabe 5: Grenzwerte mit e und ln (2 P.)
Berechne die Grenzwerte. Merke: Die e-Funktion wächst schneller als jede Potenz, der Logarithmus langsamer. Bei 0/0 hilft die Regel von L’Hospital.
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\(\lim_{x \to \infty} \left(6 + 1e^{-x}\right)\)Lösung: \(\lim_{x \to \infty} \left(6 + 1e^{-x}\right) = 6\)
Aufgabe 6: Lineare Substitution (je 2 P.)
Bestimme eine Stammfunktion (lineare Substitution): Integriere die äußere Funktion und teile durch die innere Ableitung, also durch die Zahl vor x. Kontrolle durch Ableiten.
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\(\int 6e^{3x - 1}\,dx\)Lösung: \(\int 6e^{3x - 1}\,dx = 2e^{3x - 1} + C\)
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\(\int \frac{3}{(-2x + 6)^{2}}\,dx\)Lösung: \(\int \frac{3}{(-2x + 6)^{2}}\,dx = \frac{3}{2(-2x + 6)} + C\)
Aufgabe 7: Substitution (3 P.)
Bestimme eine Stammfunktion mit Substitution: Setze u = innere Funktion. Steht deren Ableitung (bis auf einen Faktor) als Faktor davor, wird das Integral einfach.
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\(\int 4x\,(x^{2} + 4)^{4}\,dx\)Lösung: \(\int 4x\,(x^{2} + 4)^{4}\,dx = \frac{2}{5}(x^{2} + 4)^{5} + C\)
Aufgabe 8: Partielle Integration (je 4 P.)
Bestimme eine Stammfunktion mit partieller Integration: ∫ u · v′ dx = u · v − ∫ u′ · v dx. Wähle u so, dass es beim Ableiten einfacher wird (x, ln x).
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\(\int x\,\cos(x)\,dx\)Lösung: \(\int x\,\cos(x)\,dx = x\sin(x) + \cos(x) + C\)
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\(\int (-4x - 2)\,e^{x}\,dx\)Lösung: \(\int (-4x - 2)\,e^{x}\,dx = (-4x + 2)\,e^{x} + C\)
Aufgabe 9: Rotationskörper (4 P.)
Der Graph von f rotiert im angegebenen Intervall um die x-Achse. Berechne das Volumen V = π · ∫ f(x)² dx exakt (mit π) und gerundet.
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\(f(x) = 3x\text{ auf } [0;\,5]\)\(V =\)Lösung: \(V = \pi \int_{0}^{5} \left(9x^{2}\right) dx = 375\pi \approx 1178{,}1\)
Aufgabe 10: Uneigentliches Integral (3 P.)
Berechne die uneigentlichen Integrale bzw. Volumen: erst mit einer Grenze b rechnen, dann b → ∞ (bzw. a → 0) laufen lassen.
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\(\int_{0}^{9} \frac{3}{\sqrt{x}}\,dx\)Lösung: \(\lim_{a \to 0^{+}} \left[6\sqrt{x}\right]_{a}^{9} = 18\)
Aufgabe 11: Anwendungsaufgabe (10 P.)
In einem Speicher sind zu Beginn (t = 0) 100 m³ Wasser. Die Änderungsrate des Wasservolumens beträgt r(t) = 2 · (4 − t) in m³ pro Stunde (t in Stunden). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Abfluss. Tipp: Das Volumen ist der Anfangsbestand plus die Integralfunktion der Rate: V(t) = 100 + ∫₀ᵗ r(s) ds. Am meisten Wasser ist im Speicher, wenn die Rate von positiv zu negativ wechselt.
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3 P.
\(\text{Gib das Volumen } V(t) \text{ als Term an.}\)Lösung: \(V(t) = 100 + \int_0^t 2(4 - s)\,ds = 100 + 8t - 1t^2\)
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2 P.
\(\text{Zu welchem Zeitpunkt ist am meisten Wasser im Speicher?}\)hLösung: \(r(t) = 0 \;\Rightarrow\; t = 4\,\text{h}\quad(\text{Vorzeichenwechsel von } + \text{ nach } -)\)
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3 P.
\(\text{Wie viel Wasser ist dann im Speicher?}\)m³Lösung: \(V(4) = 100 + 32 - 16 = 116\,\text{m}^3\)
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2 P.
\(\text{Wann ist wieder so viel Wasser im Speicher wie am Anfang?}\)hLösung: \(V(t) = 100 \;\Rightarrow\; 8t - 1t^2 = 0 \;\Rightarrow\; t = 8\,\text{h}\quad (t = 0 \text{ ist der Anfang})\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.