Mathe-Check Komplexe Zahlen
Klasse 13 · Für Studienanfänger: Rechnen in der Form a + bi, Betrag und Polarform, quadratische Gleichungen und n-te Wurzeln.
- 10 Aufgaben
- 26 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Rechnen in der Form a + bi (je 2 P.)
Berechne und gib das Ergebnis in der Form a + bi an. Denke an i² = −1. Beim Teilen mit dem konjugierten Nenner erweitern.
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\((-4 + 6i)^2\)Lösung: \((-4 + 6i)^2 = -20 - 48i\)
-
\((-4 + i) \cdot \overline{(-4 + i)}\)Lösung: \((-4 + i) \cdot \overline{(-4 + i)} = 17\)
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\((-6 + 7i) \cdot (-1 + 4i)\)Lösung: \((-6 + 7i) \cdot (-1 + 4i) = -22 - 31i\)
-
\((6 - 4i) + (-1 - i)\)Lösung: \((6 - 4i) + (-1 - i) = 5 - 5i\)
Aufgabe 2: Betrag und Polarform (je 3 P.)
Betrag: |z| = √(a² + b²). Winkel φ zwischen 0° und 360° (auf zwei Stellen runden), Quadrant beachten. Polarform: z = r(cos φ + i sin φ).
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\(z = 1 + 2i:\ \text{Betrag } r \text{ und Winkel } \varphi\)\(r; φ\)Lösung: \(r = \sqrt{5} \approx 2{,}24,\; \varphi \approx 63{,}43^\circ\)
-
\(z = 5\sqrt{2}\,(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ)\ \text{in der Form } a + bi\)Lösung: \(5 - 5i\)
-
\(\left|-8 - 6i\right|\)Lösung: \(\left|-8 - 6i\right| = 10\)
Aufgabe 3: Gleichungen und Wurzeln (je 3 P.)
Löse die Gleichungen. Bei a ± bi online „a; b“ eingeben (b positiv), bei Wurzeln „r; φ“ der Lösung mit dem kleinsten Winkel.
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\(z^{4} = i:\ \text{Lösung mit kleinstem Winkel}\)\(r; φ\)Lösung: \(r = 1,\; \varphi_0 = 22{,}5^\circ\ \ (\text{weitere alle } 90^\circ)\)
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\(-z^2 - 12z - 45 = 0\)\(a; b\)Lösung: \(z_{1,2} = -6 \pm 3i\)
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\(z^{3} = -8i:\ \text{Lösung mit kleinstem Winkel}\)\(r; φ\)Lösung: \(r = 2,\; \varphi_0 = 90^\circ\ \ (\text{weitere alle } 120^\circ)\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.
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