Rechner für gebrochenrationale Funktionen
Gib eine gebrochenrationale Funktion ein – der Rechner bestimmt Definitionsbereich, Polstellen, hebbare Lücken, Nullstellen und alle Asymptoten. Jeder Schritt wird erklärt, gerechnet wird exakt mit Brüchen. Zum Schluss siehst Du den Graphen mit Asymptoten und Löchern.
Ergebnis
Untersuchung von $f(x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$:
| Definitionsbereich | \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{-1;\ 1\right\}\) |
|---|---|
| gekürzt | \(f(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}\) |
| Polstellen | \(x = -1\) (mit VZW) |
| hebbare Lücken | \(\left(1 \,\middle|\, \frac{3}{2}\right)\) |
| Nullstellen | keine |
| Asymptoten | \(x = -1\) (senkrecht), \(y = x\) (schief) |
| Symmetrie | keine |
| y-Achsenabschnitt | \(f(0) = 1\) |
Rechenweg
Definitionsbereich
Durch 0 darf man nicht teilen. Setze den Nenner $N(x)$ gleich 0 – seine Nullstellen sind die Definitionslücken. Den quadratischen Rest löst Du mit der abc-Formel (Mitternachtsformel). Entscheidend ist die Diskriminante D = b² − 4ac.
\[N(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2} - 1 = 0\]\[x^{2} - 1 = 0: \quad D = 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(-1\right) = 4\]\[x_{1,2} = \frac{\pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1}\]\[x_{1} = -1,\quad x_{2} = 1\]\[\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{-1;\ 1\right\}\]Faktorisieren und kürzen
Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren. Der gemeinsame Faktor $(x - 1)$ lässt sich kürzen – der gekürzte Term gilt aber nur im Definitionsbereich von f:
\[f(x) = \frac{(x - 1) \cdot \left(x^{2} + x + 1\right)}{(x - 1) \cdot (x + 1)} = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} \qquad (x \in \mathbb{D})\]Polstelle oder hebbare Lücke?
Setze jede Definitionslücke in den gekürzten Nenner ein. Ist er dort nicht 0, ist die Lücke hebbar: Der Graph hat nur ein Loch, den Grenzwert liefert der gekürzte Term. Ist er 0, liegt eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor. Kommt der Faktor gerade oft vor (doppelt, vierfach …), wechselt das Vorzeichen nicht.
\[x = -1:\ \text{Polstelle mit Vorzeichenwechsel}\]\[\qquad \lim_{x \to -1^{-}} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x \to -1^{+}} f(x) = +\infty\]\[x = 1:\ \text{hebbare Lücke, } \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{3}{2} \;\Rightarrow\; \text{Loch bei } \left(1 \,\middle|\, \frac{3}{2}\right)\]Nullstellen
Ein Bruch ist 0, wenn sein Zähler 0 ist (und der Nenner nicht). Setze den gekürzten Zähler $Z(x)$ gleich 0. Den quadratischen Rest löst Du mit der abc-Formel (Mitternachtsformel). Entscheidend ist die Diskriminante D = b² − 4ac. D ist negativ – der quadratische Teil hat keine weiteren Nullstellen. Es gibt keine reellen Nullstellen.
\[Z(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2} + x + 1 = 0\]\[x^{2} + x + 1 = 0: \quad D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\]\[\text{keine Nullstellen}\]Verhalten im Unendlichen (Polynomdivision)
Der Zählergrad (2) ist um 1 größer als der Nennergrad (1). Teile den Zähler durch den Nenner: Der Rest-Bruch geht für x → ±∞ gegen 0, der ganzrationale Teil ist die schiefe Asymptote.
\[f(x) = x + \frac{1}{x + 1}\]\[\text{schiefe Asymptote: } y = x\]\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\]\((x^{2}\) \(+ x\) \(+ 1\) \()\) \(:\ (x + 1) = x + \frac{1}{x + 1}\) \(-\big(\) \(x^{2}\) \(+ x\) \(\big)\) \(1\) Symmetrie und y-Achsenabschnitt
Setze −x ein: Kommt wieder f(x) heraus, ist der Graph achsensymmetrisch; kommt −f(x) heraus, punktsymmetrisch. Der Definitionsbereich muss dafür selbst symmetrisch sein.
\[\text{keine Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung}\]\[f(0) = 1 \;\Rightarrow\; S_y\left(0 \,\middle|\, 1\right)\]
Graph
Blau: Graph von f, rot gestrichelt: senkrechte Asymptoten, grau gestrichelt: waagerechte bzw. schiefe Asymptote, offene Kreise: hebbare Lücken.
Extrem- und Wendepunkte, Monotonie und Krümmung berechnet der Kurvendiskussion-Rechner für dieselbe Funktion.
Was der Rechner untersucht
- Definitionsbereich: Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken.
- Kürzen: Zähler und Nenner werden faktorisiert. Ein gemeinsamer Faktor wird gekürzt.
- Art der Lücken: Hebbare Lücke (nur ein Loch im Graphen) oder Polstelle (senkrechte Asymptote), mit oder ohne Vorzeichenwechsel – samt einseitiger Grenzwerte.
- Nullstellen: Der gekürzte Zähler wird 0 gesetzt; Stellen außerhalb des Definitionsbereichs fallen weg.
- Verhalten im Unendlichen: waagerechte Asymptote, schiefe Asymptote oder Näherungskurve über die Polynomdivision.
- Symmetrie und y-Achsenabschnitt.
Die Regeln dahinter mit vielen Beispielen erklärt die Seite Gebrochenrationale Funktionen. Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte bestimmt der Kurvendiskussion-Rechner, einzelne Grenzwerte erklärt Grenzwerte und Stetigkeit.
Kontrolle mit dem Graphen
An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel springt der Graph von $-\infty$ nach $+\infty$ (oder umgekehrt). Ohne Vorzeichenwechsel laufen beide Äste in dieselbe Richtung – wie bei $\frac{1}{x^2}$. Eine hebbare Lücke siehst Du im Graphen nur als kleinen offenen Kreis.