Rekonstruktion von Beständen und Mittelwerte
Oft kennt man nicht den Bestand selbst, sondern nur, wie schnell er sich ändert: wie viel Wasser pro Minute in ein Becken fließt, wie viele Autos pro Stunde in ein Parkhaus fahren, wie stark eine Temperatur pro Stunde steigt. Mit dem Integral rekonstruierst Du daraus den Bestand – eine klassische Abituraufgabe.
Bestand aus der Änderungsrate
Ist $r(t)$ die Änderungsrate eines Bestands $B$, dann ist $B$ eine Stammfunktion von $r$: $B'(t) = r(t)$. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:
Das Integral über die Änderungsrate ist die Gesamtänderung des Bestands. Flächen oberhalb der t-Achse bedeuten Zunahme, Flächen unterhalb Abnahme.
Beispiel: Wasserbecken
Die Zuflussrate in ein Becken ist $r(t) = -0{,}5t^2 + 3t$ (in m³ pro Stunde, $0 \le t \le 8$). Zu Beginn sind 20 m³ Wasser im Becken.
Bestandsfunktion: $B(t) = 20 + \int_0^t \left(-0{,}5s^2 + 3s\right)\mathrm{d}s = 20 - \frac{t^3}{6} + 1{,}5t^2$
Zufluss zwischen der 2. und 4. Stunde: $\int_2^4 r(t)\,\mathrm{d}t = B(4) - B(2) = \frac{26}{3} \approx 8{,}67$ m³
Größter Bestand: $r(t) = -0{,}5t(t - 6)$ ist positiv für $0 < t < 6$ und negativ für $t > 6$. Bis $t = 6$ fließt also Wasser zu, danach ab. Der Bestand ist bei $t = 6$ am größten: $B(6) = 20 - 36 + 54 = 38$ m³.
Am Ende: $B(8) = 20 - \frac{512}{6} + 96 \approx 30{,}67$ m³.
Grün: Zufluss (18 m³), rot: Abfluss ($\frac{22}{3} \approx 7{,}33$ m³). Der Bestand ist am größten, wo $r$ von positiv zu negativ wechselt.
Merke
- Der Bestand wächst, solange $r(t) > 0$ ist, und nimmt ab, solange $r(t) < 0$ ist.
- Ein (lokales) Maximum des Bestands liegt dort, wo $r$ das Vorzeichen von + nach − wechselt – nicht dort, wo $r$ am größten ist! Am Maximum von $r$ wächst der Bestand nur am schnellsten.
- Bei Zu- und Abfluss gilt $B'(t) = z(t) - a(t)$: Du integrierst die Differenz.
Mittelwert einer Funktion
Der Mittelwert (Durchschnittswert) einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a;\ b]$ ist
Anschaulich: Ein Rechteck mit der Breite $b - a$ und der Höhe $\overline{f}$ hat dieselbe (orientierte) Fläche wie die Fläche unter dem Graphen.
Beispiel: Durchschnittstemperatur
Die Temperatur an einem Tag wird durch $T(t) = -0{,}25t^2 + 3t + 10$ beschrieben ($t$ in Stunden nach 6 Uhr, $0 \le t \le 12$). Die Durchschnittstemperatur ist
$\overline{T} = \frac{1}{12} \int_0^{12} T(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{12}\left[-\frac{t^3}{12} + 1{,}5t^2 + 10t\right]_0^{12} = \frac{1}{12} \cdot 192 = 16$ °C.
Mittelwert oder mittlere Änderungsrate?
Die beiden Begriffe klingen ähnlich, bedeuten aber Verschiedenes:
| mittlere Änderungsrate von $f$ | Mittelwert von $f$ | |
|---|---|---|
| Formel | $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ | $\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ |
| Bedeutung | durchschnittliche Steigung (Sekantensteigung) | durchschnittlicher Funktionswert |
| Beispiel Temperatur | Um wie viel Grad pro Stunde ist es im Schnitt wärmer geworden? | Wie warm war es im Durchschnitt? |
Der Zusammenhang
Die mittlere Änderungsrate des Bestands $B$ ist der Mittelwert seiner Änderungsrate $r$: $\frac{B(b) - B(a)}{b - a} = \frac{1}{b - a}\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t$. Im Beispiel mit dem Becken floss in den ersten 6 Stunden durchschnittlich $\frac{38 - 20}{6} = 3$ m³ pro Stunde zu.
Typische Fehler
Darauf achten
- Den Anfangsbestand vergessen: Das Integral liefert nur die Änderung, nicht den Bestand selbst.
- Das Maximum der Änderungsrate mit dem Maximum des Bestands verwechselt.
- Beim Mittelwert vergessen, durch die Intervalllänge $b - a$ zu teilen.
- Bei Flächen unterhalb der Achse den Betrag genommen, obwohl nach der Änderung gefragt ist – Abfluss zählt negativ. Nur wenn nach der insgesamt geflossenen Menge gefragt ist, addierst Du die Beträge.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Bestand aus der Änderungsrate
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Aufgabe 1
\(r(t) = 2t^{2} - 3t + 3,\) \(B(0) = 20:\ B(1)\)\(B(1) =\)\(B(1) = 20 + \left[\frac{2}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 3t\right]_{0}^{1}\) \(= \frac{133}{6}\)
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Aufgabe 2
\(r(t) = -4t + 13,\) \(B(0) = 200:\ B(1)\)\(B(1) =\)\(B(1) = 200 + \left[-2t^{2} + 13t\right]_{0}^{1}\) \(= 211\)
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Aufgabe 3
\(r(t) = -t^{2} + 2t + 8,\) \(B(0) = 10:\ B(6)\)\(B(6) =\)\(B(6) = 10 + \left[-\frac{1}{3}t^{3} + t^{2} + 8t\right]_{0}^{6}\) \(= 22\)
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Aufgabe 4
\(r(t) = 4t + 1,\) \(B(0) = 200:\ B(4)\)\(B(4) =\)\(B(4) = 200 + \left[2t^{2} + t\right]_{0}^{4} = 236\)
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Aufgabe 5
\(r(t) = 3t^{2} - 6t + 2,\) \(B(0) = 200:\ B(5)\)\(B(5) =\)\(B(5) = 200 + \left[t^{3} - 3t^{2} + 2t\right]_{0}^{5}\) \(= 260\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Rekonstruktion von Beständen und Mittelwerte
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Wie man Integrale berechnet, erklären die Seiten Integralrechnung und Integralfunktion. Integrale mit Rechenweg berechnet der Integralrechner, Näherungswerte die Trapezregel auf der Seite Newton-Verfahren.
Weiterlesen: Mittelwertsatz der Integralrechnung bei Wikipedia